費曼-卡茨公式
費曼－卡茨公式是一个數學公式佮定理，著愛出名的理察 ・ 費曼和馬克 ・ 卡茨，將隨機過程和拋物型偏微分方程結合做伙。使用費曼－卡茨公式會當通過共某一寡拋物型偏微分方程的解寫做隨機過程的條件向望的方式，就共求這類微分方程的數值解轉化做模擬隨機過程的路徑。顛倒反，此一類隨機過程的向望會當通過確定性的計算（偏微分方程求解）得著。考慮偏微分方程：
- $ { \ frac { \ partial u } { \ partial t } } + \ mu ( x , t ) { \ frac { \ partial u } { \ partial x } } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ sigma ^ { 二 } ( x , t ) { \ frac { \ partial ^ { 二 } u } { \ partial x ^ { 二 } } }-V ( x , t ) u=f ( x , t ) . \ qquad \ qquad t \ in [零 , T] , \ , \ , x \ in \ mathbb { R } $
- 滿足邊界的條件：$ u ( x , T )=\ psi ( x ) , $
內底的 $ \ mu , \ \ sigma , \ \ psi , V $ 是已知影的函數，$ \ T $ 是予定的參數，$ u : \ mathbb { R } \ times [零 , T] \ to \ mathbb { R } $ 是所求的解函數。費曼－卡茨公式聲明，這个偏微分方程的解函數會當寫做某一个隨機過程的（條件）期望：
- $ u ( x , t )=E \ left [\ int _ { t } ^ { T } e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } f ( X _ { s } , s ) ds + e ^ {-\ int _ { t } ^ { T } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ psi ( X _ { T } ) | X _ { t }=x \ right] $
其中 $ \ X=\ left ( X _ { t } ; t \ geqslant 零 \ right ) $ 是由以下的隨機動力方程
$ dX _ { t }=\ mu ( X _ { t } , t ) \ , dt + \ sigma ( X _ { t } , t ) \ , dW _ { t } , $ 決定的它藤隨機過程。內底的 $ \ W _ { t } $ 是維納過程（Wiener 過程，閣叫布朗過程）， $ \ X _ { t } $ 滿足初初的條件 $ \ X _ { 零 }=x $。
條件
費曼－卡茨公式建立佇若干對參數函數的限制性條件下。遮的條件主要是要求參數函數有夠「平滑」佮「規則」，予隨機微分方程佮偏微分方程的解存在。
首先假設偏微分方程的解函數 _ u _ 存在。卡拉查斯佮史雷夫佇一九八八年證明了：賰的函數佮 _ u _ 滿足以下的條件一 . 參數函數 $ \ mu , \ \ sigma , \ \ psi , \ V , \ f $ 以及函數 _ u _ 攏是連紲函數。 二 . 函數 _ u _ 關於著 _ x _ 變量保持多項式增長，即存在正常數 _ M _ 和 _ c _，會當對所有的 _ x _，攏有：
- $ \ u ( x , t ) \ leqslant M ( 一 + | x | ^ { c } ) $
三 . 參數函數 $ \ psi $ 和 $ f $ 攏愛遮爾正值函數，欲按怎嘛滿足類似以上的多項式增長條件。 四 . 參數函數 $ V $ 有下界，並且五 . 參數函數 $ \ mu , \ \ sigma $ 滿足關於 _ x _ 變量的利普希茨條件，即存在常數 _ K _，會當對所有的無相等 _ x _ 和 _ y _，攏有：
- $ | \ sigma ( x , t )-\ sigma ( y , t ) | + | \ mu ( x , t )-\ mu ( y , t ) | \ leqslant K | x-y | $
的時陣，解函數會當用費曼－卡茨公式表達為條件向望的形式。遮的條件內底並無保證解的存在性。愛保證後者，需要閣較強的條件：
一 . 參數函數 $ \ mu , \ \ sigma $ 有界，並且局部地滿足關於著 _ x _ 變量佮 _ t _ 變量的利普希茨條件（即常數 _ K _ 會當和 _ x _ 相關）。 二 . 對任意的 _ t _，參數函數 $ \ sigma $ 攏滿足赫爾德相連紲條件，即存在佮 _ t _ 無關係的常數 _ H _ 佮介於零佮一之間的常數 $ \ alpha $，予得
- $ | \ sigma ( x , t )-\ sigma ( y , t ) | \ leqslant K | x-y | ^ { \ alpha } $
三 . 參數函數 $ V $ 有界，並且對任意的 _ t _，都局部地滿足赫爾德相連紲條件。 四 . 對任意的 _ t _，參數函數 $ f $ 都局部地滿足赫爾德相連紲條件，並關於 _ x _ 變量滿足濟項式增長條件。 五 . 參數函數 $ \ psi $ 關於著 _ x _ 變量滿足濟項式增長條件。
以上條件由喬里德曼在一九七五年給出。一九八空年克里洛夫提出用較簡潔（同時閣較強）的條件代替，會當是：
> 所有的參數函數 $ \ mu , \ \ sigma , \ \ psi , \ V , \ f $ 滿足利普希茨條件並且二改連紲會當導，仝時陣滿足濟項式增長條件；函數 _ V _ 有下界。 > >
佇以上的條件下跤，偏微分方程的解唯一存在，而且滿足費曼－卡茨公式的向望表達，仝彼陣嘛誠濟項式來增加條件。
證明
為簡化起見，以下只證明 $ f ( x , t )=零 $ 的狀況。 設偏微分方程的解函數為 $ u ( x , t ) $。著以下函數 $ Y _ { s }=e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } u ( X _ { s } , s ) $ 使用它藤公式，會用得著：
- $ dY _ { s }=de ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } u ( X _ { s } , s ) + e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ , du ( X _ { s } , s ) + de ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } du ( X _ { s } , s ) $
因為 $ de ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau }=-V ( X _ { s } ) e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ , ds $，等式正爿第三項是高階無窮小 $ o ( dt ) $，因此會使失覺察。閣一改嘿 $ du ( X _ { s } , s ) $ 使用它藤公式，會得著
- $ dY _ { s }=e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ , \ left (-V ( X _ { s } ) u ( X _ { s } , s ) + \ mu ( X _ { s } , s ) { \ frac { \ partial u } { \ partial x } } ( X _ { s } , s ) + { \ frac { \ partial u } { \ partial t } } ( X _ { s } , s ) + { \ frac { 一 } { 二 } } \ sigma ^ { 二 } ( X _ { s } , s ) { \ frac { \ partial ^ { 二 } u } { \ partial x ^ { 二 } } } ( X _ { s } , s ) \ right ) \ , ds $
- $ \ ; + e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ sigma ( X _ { s } , s ) { \ frac { \ partial u } { \ partial x } } ( X _ { s } , s ) \ , dW _ { s } . $
等式正爿的第一項里的括號中的式拄好是微分方逝的倒爿，所以等於零。賰的是：
- $ dY _ { s }=e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ sigma ( X _ { s } , s ) { \ frac { \ partial u } { \ partial x } } ( X _ { s } , s ) \ , dW _ { s } . $
共這个等式的兩爿對 $ t $ 積分著 $ T $，會用得著：
- $ Y _ { T }-Y _ { t }=\ int _ { t } ^ { T } e ^ {-\ int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ sigma ( X _ { s } , s ) { \ frac { \ partial u } { \ partial X } } ( X _ { s } , s ) \ , dW _ { s } . $
兩爿取佇咧已經知影 $ X _ { t }=x $ 落去的條件向望，並且注意著等式正爿是一个伊藤積分，所以正爿等於零。所以乎 $ E [Y ( T ) | X _ { t }=x]=E [Y ( t ) | X _ { t }=x]=u ( x , t ) $。注意著
- $ E [Y ( T ) | X _ { t }=x]=E [e ^ {-\ int _ { t } ^ { T } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } u ( X _ { T } , T ) | X _ { t }=x]=E [e ^ {-\ int _ { t } ^ { T } V ( X _ { \ tau } ) \ , d \ tau } \ psi ( X _ { T } ) ) | X _ { t }=x] $
就會當著著愛證明的結論。
相關
- 以上的條件向望形式的公式對多維的伊藤過程嘛適用。佮之相應，解函數 $ u : \ mathbb { R } ^ { N } \ times [零 , T] \ to \ mathbb { R } $ 相對的偏微分方程是：
- $ { \ frac { \ partial u } { \ partial t } } + \ sum _ { i=一 } ^ { N } \ mu _ { i } ( x , t ) { \ frac { \ partial u } { \ partial x _ { i } } } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ sum _ { i=一 } ^ { N } \ sum _ { j=一 } ^ { N } \ gamma _ { ij } ( x , t ) { \ frac { \ partial ^ { 二 } u } { \ partial x _ { i } x _ { j } } }-r ( x , t ) u=f ( x , t ) , $
內底的
- $ \ gamma _ { ij } ( x , t )=\ sum _ { k=一 } ^ { N } \ sigma _ { ik } ( x , t ) \ sigma _ { jk } ( x , t ) , $
也就是講 $ \ gamma=\ sigma \ , \ sigma ^ { \ prime } $，其中 $ \ sigma ^ { \ prime } $ 是矩陣 $ \ sigma $ 伊的轉置矩陣。
- 將解函數表示為條件向望的行使了後，會使使用蒙特卡羅抑是准蒙特卡羅方法來求出近若像的數值解。
- 此定理上早是由卡茨佇一九四九年發表，上頭仔的費曼－卡茨公式是作為一个解決某寡維納函的分布的公式提出的。準講 $ \ x ( \ tau ) $ 是滿足初初的條件 $ \ x ( 零 )=零 $ 的某一个湠過程。這馬要求出以下函數的期值
- $ e ^ {-\ int _ { 零 } ^ { t } V ( x ( \ tau ) ) \ , d \ tau } $
費曼－卡茨公式說明這个向望值等等價於對某一个擴散方程（拋物型偏微分方程）解的積分。特別地，做條件 $ \ uV ( x ) \ geqslant 零 $ 滿足的時陣，若設 $ \ w ( x , 零 )=\ delta ( x ) $ 並滿足 $ { \ frac { \ partial w } { \ partial t } }={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ frac { \ partial ^ { 二 } w } { \ partial x ^ { 二 } } }-uV ( x ) w $，則有
- $ E \ left ( e ^ {-u \ int _ { 零 } ^ { t } V ( x ( \ tau ) ) \ , d \ tau } \ right )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } w ( x , t ) \ , dx $
費曼－卡茨公式嘛會當闡釋做對某一个特定的形式的泛函積分求值的一種方法。若是：
- $ I=\ int f ( x ( 零 ) ) e ^ {-u \ int _ { 零 } ^ { t } V ( x ( t ) ) \ , dt } g ( x ( t ) ) \ , Dx $
其中的積分對所有的隨機漫步路直接區域取得，遐爾
- $ I=\ int w ( x , t ) g ( x ) \ , dx $
其中 $ \ w ( x , t ) $ 是拋物型偏微分方程 $ { \ frac { \ partial w } { \ partial t } }={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ frac { \ partial ^ { 二 } w } { \ partial x ^ { 二 } } }-uV ( x ) w , $ 的解。並且滿足初初的條件 $ \ w ( x , 零 )=f ( x ) $ .
參見
- 它藤引理
- Kunita–Watanabe 定理
- 吉薩諾夫定理
- 科爾莫戈羅夫前向方程（嘛叫做 Fokker–Planck 四角勢）
參考來源
- Simon , Barry . Functional Integration and Quantum Physics . Academic Press . 一千九百七十九 .
- Pham , Huyên . Continuous-time stochasticcontrol and optimisation with financial applications . Springer-Verlag . 二千空九 .