輻角

數學中，複數的輻角是指複數佇複平面上對應的向量佮正向實數軸所成的有向角。複數的輻角值會當是一切實數，毋過因為有相差 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（即弧度 $ 二 \ pi $）的輻角佇實際應用中無差別，所以定義複數的輻角主值為著輻角模 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（$ 二 \ pi $）賰落來的數，定義取值範圍佇咧 $ 零 ^ { \ circ } $ 到 $ 三百六十 ^ { \ circ } $（$ 二 \ pi $）之間。複數的輻角是複數的重要性質，佇袂少理論內底攏有咧重要的作用。

定義

設有非零複數 $ z \ in \ mathbb { C } \ setminus \ { 零 \ } $，記作 $ z=x + yi $，內底的 $ x $ 和 $ y $ 為實數，遐爾仔複數 $ z $ 的輻角 $ \ varphi $ 指出的是使下列等式：

$ z=x + yi={ \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } ( \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi ) $

成立的任何實數 $ \ varphi $。直觀來講，假使非零複數 $ z $ 佇複平面 $ O _ { xy } $ 著對應的向量是 $ { \ overrightarrow { OP } } $（正圖藍色向量）， 按呢伊的輻角是所有會當描述正實數軸到 $ { \ overrightarrow { OP } } $ 的斡角的有向角。其中有向角的正向規定做逆時針方向。圖內底會當看出講，相差 $ 二 \ pi $ 的倍數的角色攏會當是輻角。這个性質嘛會當對三角函數 $ \ cos $ 和 $ \ sin $ 是以 $ 二 \ pi $ 為周期的函數中推出來。

干焦非零複數才有輻角，複數 $ 零 $ 的輻角是無定義的。

輻角主值

仝一个複數的輻角有無窮濟个，以集合表示講 $ \ { \ varphi + 二 k \ pi \ , | \ , k \ in \ mathbb { Z } \ } $，啊若對所有 $ \ varphi _ { k }=\ varphi + 二 k \ pi $，$ \ cos \ varphi _ { k } + i \ sin \ varphi _ { k } $ 攏相仝，所以實際干焦需要以其中一个輻角為代表，此輻角叫做輻角主值抑是主輻角，記作 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $。一般約定使用區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 中的值作為輻角主值（嘛有另外一款捷看著的約定是以區間 $ [ 零 , 二 \ pi ) $ 中的值作為輻角主值）。 若複數的輻角主值是 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $，按呢伊的所有的輻角值就是：

$ \ arg ( z )=\ { \ operatorname { Arg } ( z ) + 二 k \ pi \ , | \ , k \ in \ mathbb { Z } \ } $

輻角的計算

予定一个形如 $ z=x + yi $ 的非零複數，輻角主值 $ \ operatorname { Arg } ( z ) $ 是將伊炤著區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 中的函數。輻角主值函數會當用反三角函數來描述：

$ \ operatorname { Arg } ( x + yi )={ \ begin { cases } \ arccos { \ dfrac { x } { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } & y > 零 \ \-\ arccos { \ dfrac { x } { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } } & y < 零 \ \ 零 & x > 零 \ land y=零 \ \ \ pi & x < 零 \ land y=零 \ \ \ end { cases } } $

抑是配合半角公式：

$ \ operatorname { Arg } ( x + yi )={ \ begin { cases } 二 \ arctan { \ dfrac { y } { { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } + x } } & y \ neq 零 \ \ 零 & x > 零 \ land y=零 \ \ \ pi & x < 零 \ land y=零 \ \ \ end { cases } } $

性質

複數 $ z $ 的一个輻角 $ \ varphi \ in \ arg ( z ) $ 佮絕對值 $ | z | $ 會當用來組成複數的極坐標形式：

$ z=| z | e ^ { i \ varphi } $。

坐標形式下計算，會使得著複數乘積佮商的輻角的規律：

$ \ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } z _ { 二 } )=\ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } ) + \ operatorname { Arg } ( z _ { 二 } ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

$ \ operatorname { Arg } \ left ( { \ frac { z _ { 一 } } { z _ { 二 } } } \ right )=\ operatorname { Arg } ( z _ { 一 } )-\ operatorname { Arg } ( z _ { 二 } ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

於是對複數冪次的輻角嘛有：

$ \ operatorname { Arg } ( z ^ { n } )=n \ operatorname { Arg } ( z ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $

複數的共擔的輻角是滿足：

$ \ operatorname { Arg } ( { \ overline { z } } )=-\ operatorname { Arg } ( z ) { \ pmod { (-\ pi , \ pi ] } } $