邏輯斯函數

邏輯斯函數（英語：logistic function）是一種捷看著的 S 型函數，函數圖像稱做邏輯斯鴻曲線（英語：logistic curve）。 簡單的邏輯斯函數會當用下式表示：

$ f ( x )={ \ frac { L } { 一 + e ^ {-k ( x-x _ { 零 } ) } } } $

其中：

x 零為 S 形曲線中點的 x 值；

L 為曲線的上大值

k 是邏輯斯牌增長率抑是曲線的崎度。

當 x 因為正常就是散食，_ f ( x ) _ 的值逼近 L，而且 x 是因為無錢的時陣，_ f ( x ) _ 的值逼近零。

邏輯斯函數應用領域廣泛，包括生物學（特別是生態學）、 數理生物學、化學、人口學、經濟學、地球科學、數學心理學、機率、社會學、政治學、語言學、統計學佮人工神經過網路等等。比如講，廣義邏輯斯配曲線會當模仿一寡情形人口增長（_ P _）的 S 形曲線。起初階段大致是指數增長；隨著開始變甲飽和，增長變慢；最後咧，達到熟的時陣增長停止。

歷史

邏輯斯函數是皮埃爾 ・ 鋪朗索瓦 ・ 韋呂勒於一八三八年至一八四七年來發表的三篇論文內底提出的，伊佇阿道夫 ・ 凱特勒的指導之下，通過調整指數增長模型，共設計共人口增加模仔。韋呂勒佇一八三空年代中期設計矣該函數，佇一八三八年發表一个簡短的說明，然後佇一八四四年進一步分析並號名這个函數（發表佇一八四五年）第三篇論文調整比利時人口增長模型中的修正項。

增加長的初始階段近來的指數增加（幾何級數）； 然後，隨著增加那飽和，曲線放予慢到接近線性，成熟的階段，增長停止。原本選用「邏輯斯厥」（法國的：logistique，英語：logistic）一詞的時陣，韋呂勒無解說其原由，但是這可能是為著區別於對數曲線，嘛佮算術佮幾若个進行對比。咧提出該增加模型的前，伊討論了算術增長佮幾何增長（伊稱呼做「著數曲線」，其現代通稱是指數曲線）， 所以「邏輯斯馮增長」可能是通過類比號名的，「 邏輯斯厥」來自古希臘語 λογῐστῐκός（_ logistikós _）， 是指古希臘數學的一个分支。「邏輯斯函數」中的「邏輯」佮邏輯學（logic）佮軍隊後勤 / 物流（logistics，自法語 _ logis _）攏無要緊。

數學特性

標準邏輯斯交函數的參數設定做 $ k=一 $ , $ x _ { 零 }=零 $ , $ L=一 $，即

$ f ( x )={ \ frac { 一 } { 一 + e ^ {-x } } }={ \ frac { e ^ { x } } { e ^ { x } + 一 } }={ \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ tanh \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right ) $

實際上，因為指數函數 $ e ^ {-x } $ 的特性，函數的取值真緊會逼近極限，x 佇足細的範圍內底（比如講 [− 六 ,   + 六]）的取值就誠以計算標準邏輯斯函數的極限。

標準邏輯斯牌函數具有如下對稱性：

$ 一-f ( x )=f (-x ) $

所以，$ x \ mapsto f ( x )-二分之一 $ 是奇函數。

標準邏輯斯交函數會當看做雙曲正切函數的偏移佮縮放：

$ f ( x )={ \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ tanh \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right ) $

抑是

$ \ tanh ( x )=二 f ( 二 x ) 影一 . $

推導過程如下：

$ { \ begin { aligned } \ tanh ( x ) &={ \ frac { e ^ { x }-e ^ {-x } } { e ^ { x } + e ^ {-x } } }={ \ frac { e ^ { x } \ cdot \ left ( 一-e ^ { 鋪二 x } \ right ) } { e ^ { x } \ cdot \ left ( 一 + e ^ { 鋪二 x } \ right ) } } \ \ &=f ( 二 x )-{ \ frac { e ^ { 鋪二 x } } { 一 + e ^ { 鋪二 x } } }=f ( 二 x )-{ \ frac { e ^ { 鋪二 x } + 一孵一 } { 一 + e ^ { 鋪二 x } } }=二 f ( 二 x ) 影一 . \ end { aligned } } $

導數

標準邏輯斯交函數的導數叫做邏輯斯增分布密度，公式如下：

$ f ( x )={ \ frac { 一 } { 一 + e ^ {-x } } }={ \ frac { e ^ { x } } { 一 + e ^ { x } } } , $

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } f ( x )={ \ frac { e ^ { x } \ cdot ( 一 + e ^ { x } )-e ^ { x } \ cdot e ^ { x } } { ( 一 + e ^ { x } ) ^ { 二 } } }={ \ frac { e ^ { x } } { ( 一 + e ^ { x } ) ^ { 二 } } }=f ( x ) { \ big ( } 一-f ( x ) { \ big ) } $

邏輯斯配分布的均值為 x 零，變異數為 π 三分之二 _ k _ 二。

積分

標準邏輯斯交函數無定的積分通用換元積分法求得，令 $ u=一 + e ^ { x } $，$ f ( x )={ \ frac { e ^ { x } } { 一 + e ^ { x } } }={ \ frac { u'} { u } } $，去跋筊常數，得著伊其實無定積分：

$ \ int { \ frac { e ^ { x } } { 一 + e ^ { x } } } \ , dx=\ int { \ frac { 一 } { u } } \ , du=\ ln u=\ ln ( 一 + e ^ { x } ) . $

佇咧人工神經網路內底，伊叫做線性整流函數，（勼放了後）可看做是平洋滑近的趨崎函數，類似著邏輯斯函數（勼放了後）是平滑近親像的單位階躍函數。

邏輯斯牌微分方程式

標準邏輯斯交函數是簡單的一階非線性定定微分方程式的解決：

$ { \ frac { d } { dx } } f ( x )=f ( x ) { \ big ( } 一-f ( x ) { \ big ) } $

邊界條件為 $ f ( 零 )=二分之一 $。該方程式是邏輯斯牌影射的連續版本。注意倒數邏輯斯函數是簡單的一階線性定定微分方程式的解說。

邏輯斯配差分方程式

$ x _ { n + 一 }=kx _ { n } ( 一-x _ { n } ) $

是混糊理論的一个模型。這个函數對初初值佮參數的變化足敏感的，往往細細的變化會引起透濫。如圖所示，當 _ x _ 一=空吱三，參數 k 踮無一變到四時，系統變化足大的。

• 當 k 由這个零仙一變到一時，曲線誠緊走對無去
• 當 k 繼續加，曲線由空吱三上升到一个穩定值
• k 繼續加，曲線出現擺動，有兩个穩定值。
• k 繼續加，曲線相連紲出現四个、八个、十六个、三十二个 . . . . 穩定值
• k 增加到一个臨界值，系統進入混狀態。
• k 閣加添，系統雄雄崩去。

變化

$ x _ { n + 一 }=kx _ { n } ( 一-x _ { n } ^ { 二 } ) $

應用

生態學：族群增長模型

邏輯斯學方程式的一个典型應用是族群（抑是人口）增加長的通用模型（另外見族群動態）， 頭仔由皮埃爾 ・ 鋪朗索瓦 ・ 韋呂勒佇一八三八年提出，其中生湠率佮現狀族群數量和會當用資源量成正比，其他一切攏條件等等。韋呂勒方程式是伊咧閱讀馬爾薩斯的論文《An Essay on the Principle of Population》後發表的，這个論文描述了簡單（無約束條件）指數增長的馬爾薩斯模型。韋呂勒推導出伊的邏輯斯馮方程式來描述生物族群的自限性增長。這个方程式就一九一一年被 A . G . McKendrick 用描述肉湯中細菌的生長，伊使用非線性參數估計的方法進行矣實驗測試。佇咧約翰斯 ・ 霍普金斯大學的 Raymond Pearl（一千八百七十九–一千九百四十）和 Lowell Reed（一千八百八十八–一千九百六十六）佇一九二空年使用這个方程式了後，這一方程式有時也叫做 Verhulst-Pearl 方程式。另外一位科學家阿瑾雷德 ・ 洛特卡佇一九二五年再次推導出該方程式，講其為族群增長律（law of population growth）。

令 P 為族群（人口）規模（這生態學經常用 N 代替）， t 代表時間，這个模型用下微分方程式表示講：

$ { \ frac { dP } { dt } }=rP \ left ( 一-{ \ frac { P } { K } } \ right ) , $

其中常數 r 為族群（人口）增長率，K 為著環境承載力。

方程式內底，早期的差不多無阻力的增長率來自 + rP。增長率 r 代表族群（人口）數量 P 佇一个單位時間內的增加比例。後來，隨著人口的增加，第二項-rP 二 / K 變甲差不多佮第一項平大，族群 P 內面的個體之間開始相爭奪某寡關鍵資源（比如講食物抑是生存空間）互相干擾。這種對抗效應稱為「關頭」，由參數 K 代表。競爭會降低總合增長率，一直到 P 停止增長（族群 / 人口成熟）。 方程式的解決（P 零為初初的族群 / 人口數量）為

$ P ( t )={ \ frac { KP _ { 零 } e ^ { rt } } { K + P _ { 零 } \ left ( e ^ { rt } 影一 \ right ) } }={ \ frac { K } { 一 + \ left ( { \ frac { K-P _ { 零 } } { P _ { 零 } } } \ right ) e ^ {-rt } } } , $

其中：

$ \ lim _ { t \ to \ infty } P ( t )=K . $

你會講，K 是 P 的極限值，即經過無限長時間了後（抑是有限時間內欲好親像）， 族群（人口）規模所會當達到的上大值。愛注意，只要初始值 $ P ( 零 ) > 零 $，無論取偌濟，族群數量攏會漸漸環境承載力的值，包括講 $ P ( 零 ) > K $ 的狀況之下。

生態學中有時稱一个物種是 r 策略抑是 K 策略的，這是講𪜶佇咧自然選擇過程形成的性命週期策略。選取變數的量綱，使 n 代表用環境承載力單位計的族群數量，$ \ tau $ 代表以 $ 一 / r $ 的單位計量的時間，就會出無量綱微的分方程式：

$ { \ frac { dn } { d \ tau } }=n ( 一-n ) . $

時變承載力

因為環境條件會影響環境承載力，因此伊可能是隨時間變化的，$ K ( t ) > 零 $，會當出以下的數學模型：

$ { \ frac { dP } { dt } }=rP \ cdot \ left ( 一-{ \ frac { P } { K ( t ) } } \ right ) . $

其中一款特別重要的情況是承載力隨時期以 T 為禮拜變化的情形：

$ K ( t + T )=K ( t ) . $

可見，只要初始值 $ P ( 零 ) > 零 $，無論是具體取值為偌濟，$ P ( t ) $ 會逼近一个週期為 $ T $ 的週期解 $ P _ { * } ( t ) $。

$ T $ 的典型取值為一年，此情形下，$ K ( t ) $ 會當表示天氣條件的週期變化。

另外一个趣味的一般化情形是考慮承載能力 K ( t ) 做關於以前時間的族群數量的函數，以表示族群改變其所在環境的延遲。這就構成一个邏輯斯牌仔屯方程式，伊有足豐富的行為，佇咧某寡參數的範圍內底呈現雙穩定，以及單調衰減到零、平滑指數增長、斷無限增加（即多個 S 形）、 間斷增長抑是交替到平穩水平、振盪接近穩定水平、繼續振盪、有限時間奇異點以及有限時間死亡。

統計學佮仝款的機器學習

邏輯斯函數佇統計學中有偌種應用。比如講，𪜶是邏輯斯配分布的累積分布函數，𪜶會當用佇模擬西洋棋棋手佇埃洛等級分系統之下擊敗對手的機率。以下是一寡閣較具體的案例。

邏輯迴歸

邏輯迴歸使用邏輯斯增函數來模擬一个事件的機率 p 欲按怎可能會受著一个抑是解說變數的影響：一个案例模型如下

$ p=f ( a + bx ) , $

其中 x 共解說變數，a 和 b 為要擬合的模型參數，f 為標準邏輯斯函數。

邏輯迴歸佮其他對數線性模型嘛定定用佇機器學習。將邏輯斯鋪函數推廣到多元輸入情景即為 Softmax 激活函數，用佇多元邏輯迴歸。

醫學：腫瘤生長模型

佇醫學上，邏輯斯崩微分方程式會當用佇腫瘤生長的建模。這一用法會當看為著欲述的生態學 / 人口學模型的延伸。以 $ X ( t ) $ 表示腫瘤佇時間 $ t $ 的大細，其變化動態遵循

$ X'=r \ left ( 一-{ \ frac { X } { K } } \ right ) X , $

𪜶屬於是以下類型：

$ X'=F ( X ) X , \ quad F'( X ) \ leq 零 , $

其中 $ F ( X ) $ 為著腫瘤增殖率。

若是採用化療產生對數殺傷效果，則等式修改做是

$ X'=r \ left ( 一-{ \ frac { X } { K } } \ right ) X-c ( t ) X , $

其中 $ c ( t ) $ 為治療引起的腫瘤死亡率。佇理想化的極長治療之下，$ c ( t ) $ 可模型化做週期為 $ T $ 的週期函數抑是（佇繼續的輸液治療下）常數函數，有

$ { \ frac { 一 } { T } } \ int _ { 零 } ^ { T } c ( t ) \ , dt > r \ to \ lim _ { t \ to + \ infty } x ( t )=零 , $

即，若是平均治療引起的腫瘤死亡率大於基線增殖率，是疾病會去予人根除去。當然喔，這是一个往過簡化的生長佮治療模型（譬如講無考慮克隆抗性的現象）。

醫學：傳染病模型

佇人群內底無予免疫的新型傳染性病原體，通常會佇早期呈指數級傳播，有大量的感染猶未去染著。譬如講二空二空年初，致使兩千空一十九冠狀病毒病的 SARS-CoV 抹二病毒佇多國的感染過程中呈現出指數級增長。此後，易感蹛的人減少（一直感染一直到超過群體免疫烈值）抑是通過社交距離措施減少潛在宿主的被傳染機率等等的因素，可能使呈指數增長的傳染曲線首先線性化，然後轉和，達到上大值。

邏輯斯交函數抑是相關的函數（譬如講龔琥茲數）通常以描述性抑是現象學方的式使用，因為𪜶非常符合古早的指數頂懸，嘛符合人群形成群體免疫若到尾仔趨勢有時有陣的趨勢。伊佮流行病的實際模型無仝，後者試圖根據大流行的動態（比如講接觸率、潛伏期、社交距離等）來講感染的狀態。猶毋過，一寡簡單的模型有邏輯斯辨解。

早期 COVID 鋪十九病例數建模

廣義邏輯斯函數（閣稱 Richards 增長曲線）已經應用於對 COVID 鋪十九爆發的早期階段建模。研究者共廣義邏輯斯崩山數擬合到累計感染病例數（這叫做傳染軌跡）。 文獻中對廣義邏輯斯牌函數有無仝款的參數化。一个常用的形式就是：

$ f ( t ; \ theta _ { 一 } , \ theta _ { 二 } , \ theta _ { 三 } , \ xi )={ \ frac { \ theta _ { 一 } } { [一 + \ xi \ exp (-\ theta _ { 二 } \ cdot ( t-\ theta _ { 三 } ) )] ^ { 一 / \ xi } } } $

其中 $ \ theta _ { 一 } , \ theta _ { 二 } , \ theta _ { 三 } $ 取實數，$ \ xi $ 為正實數。曲線 $ f $ 的靈活性由 $ \ xi $ 予伊：( i ) 若是 $ \ xi=一 $，是曲線衰減做邏輯斯諮函數，( ii ) 若是 $ \ xi $ 收斂至零，就是曲線收斂到龔茲函數。佇傳染病模型內底，$ \ theta _ { 一 } $ , $ \ theta _ { 二 } $ 和 $ \ theta _ { 三 } $ 分別代表傳染病上尾的規模、感染率和滯後期。見正爿的範例的傳染軌跡，其中 $ ( \ theta _ { 一 } , \ theta _ { 二 } , \ theta _ { 三 } ) $ 設定做 $ ( 一孵 , 空二二 , 四十 ) $。

佇咧流行病學建模中，使用類似廣義邏輯斯函數的增長函數的好處之一是伊相對應用佇多級模型框殼，其中來自無仝款的地理區域的訊息會當匯總共做伙 ​​。

化學：反應模型

自催化反應中，反應物件佮產物的濃度遵循邏輯斯函數。比論講燃料電池陰極中無含鉑族金屬（PGM-free）的氧還原反應催化劑的號質化遵循邏輯斯扣衰減函數，表明這是一種自催化分解機制。

物理：厚米-狄拉克分布

費米佇熱平衡系統的能量狀態上的統計分布遵循邏輯斯函數。特別地，根據費米-狄拉克統計，伊是每一个可能的會當級予一个費米占去的機率分布。

語言學：語言變化

語言學中，邏輯斯函數通用對語言變化進行建模：一種上代先所在在疊著時間的新詞綴著時間的捒開始傳播予閣較緊，然後傳播速度綴咧普遍而減慢。

經濟學佮社會學：創新擴散

邏輯斯函數通用佇咧描繪一項發明創新佇咧其性命週期內擴散的過程 .

外部連結

• L . J . Linacre , Why logistic ogive and not autocatalytic curve ? , accessed 二千空九九九九十二 .
• https : / / web . archive . org / web / 二十五空六百空九九五一千四百一十五孵五千九百三十九 / http : / / luna . cas . usf . edu / ~ mbrannic / files / regression / Logistic . html
• Modeling Market Adoption in Excel with a simplified s-curve
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Sigmoid Function . MathWorld .
• Online experiments with JSXGraph