鋪麗切搝函數
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鋪麗切搝函數（Lauricella functions）是一八九三年義大利數學家 Giuseppe Lauricella 首先研究的三元超幾何函數。
- $ F _ { A } ^ { ( 三 ) } ( a , b _ { 一 } , b _ { 二 } , b _ { 三 } , c _ { 一 } , c _ { 二 } , c _ { 三 } ; x _ { 一 } , x _ { 二 } , x _ { 三 } )=\ sum _ { i _ { 一 } , i _ { 二 } , i _ { 三 }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } ( b _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( b _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( b _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } } { ( c _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( c _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( c _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } \ , i _ { 一 } ! \ , i _ { 二 } ! \ , i _ { 三 } ! } } \ , x _ { 一 } ^ { i _ { 一 } } x _ { 二 } ^ { i _ { 二 } } x _ { 三 } ^ { i _ { 三 } } $
其中 | _ x _ 一 | + | _ x _ 二 | + | _ x _ 三 | < 一
- $ F _ { B } ^ { ( 三 ) } ( a _ { 一 } , a _ { 二 } , a _ { 三 } , b _ { 一 } , b _ { 二 } , b _ { 三 } , c ; x _ { 一 } , x _ { 二 } , x _ { 三 } )=\ sum _ { i _ { 一 } , i _ { 二 } , i _ { 三 }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( a _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( a _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } ( b _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( b _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( b _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } } { ( c ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } \ , i _ { 一 } ! \ , i _ { 二 } ! \ , i _ { 三 } ! } } \ , x _ { 一 } ^ { i _ { 一 } } x _ { 二 } ^ { i _ { 二 } } x _ { 三 } ^ { i _ { 三 } } $
其中 | _ x _ 一 | < 一 , | _ x _ 二 | < 一 , | _ x _ 三 | < 一
- $ F _ { C } ^ { ( 三 ) } ( a , b , c _ { 一 } , c _ { 二 } , c _ { 三 } ; x _ { 一 } , x _ { 二 } , x _ { 三 } )=\ sum _ { i _ { 一 } , i _ { 二 } , i _ { 三 }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } ( b ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } } { ( c _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( c _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( c _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } \ , i _ { 一 } ! \ , i _ { 二 } ! \ , i _ { 三 } ! } } \ , x _ { 一 } ^ { i _ { 一 } } x _ { 二 } ^ { i _ { 二 } } x _ { 三 } ^ { i _ { 三 } } $
其中 | _ x _ 一 | ½ + | _ x _ 二 | ½ + | _ x _ 三 | ½ < 一
- $ F _ { D } ^ { ( 三 ) } ( a , b _ { 一 } , b _ { 二 } , b _ { 三 } , c ; x _ { 一 } , x _ { 二 } , x _ { 三 } )=\ sum _ { i _ { 一 } , i _ { 二 } , i _ { 三 }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } ( b _ { 一 } ) _ { i _ { 一 } } ( b _ { 二 } ) _ { i _ { 二 } } ( b _ { 三 } ) _ { i _ { 三 } } } { ( c ) _ { i _ { 一 } + i _ { 二 } + i _ { 三 } } \ , i _ { 一 } ! \ , i _ { 二 } ! \ , i _ { 三 } ! } } \ , x _ { 一 } ^ { i _ { 一 } } x _ { 二 } ^ { i _ { 二 } } x _ { 三 } ^ { i _ { 三 } } $
其中 | _ x _ 一 | < 一 , | _ x _ 二 | < 一 , | _ x _ 三 | < 一 .
其中階乘冪 ( _ q _ ) i 為：
- $ ( q ) _ { i }=q \ , ( q + 一 ) \ cdots ( q + i 影一 )={ \ frac { \ Gamma ( q + i ) } { \ Gamma ( q ) } } ~ , $
通過解析延拓，可將 _ x _ 一 , _ x _ 二 , _ x _ 三等變數擴展到其他數值 .
Lauricella 指出，另外閣有十个三箍超幾何函數：_ F _ E , _ F _ F , . . . , _ F _ T（Saran 一千九百五十四）.
n 元推廣
影響麗切拉 n 變量函數 $ F _ { A } ^ { ( n ) } $
- $ F _ { A } ^ { ( n ) } \ left ( a ; b _ { 一 } , \ ldots , b _ { n } ; c _ { 一 } , \ ldots , c _ { n } ; z _ { 一 } , \ ldots , z _ { n } \ right )=\ sum _ { k _ { 一 }=零 } ^ { \ infty } \ ldots \ sum _ { k _ { n }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a ) _ { k _ { 一 } + \ ldots + k _ { n } } \ left ( b _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( b _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } } { \ left ( c _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( c _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } } } { \ frac { z _ { 一 } ^ { k _ { 一 } } \ ldots z _ { n } ^ { k _ { n } } } { k _ { 一 } ! \ ldots k _ { n } ! } } ; / \ left | z _ { 一 } \ right | + \ ldots + \ left | z _ { n } \ right | < 一 $
影響麗切拉 n 變量函數 $ F _ { B } ^ { ( n ) } $
- $ F _ { B } ^ { ( n ) } \ left ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { n } ; b _ { 一 } , \ ldots , b _ { n } ; c ; z _ { 一 } , \ ldots , z _ { n } \ right )=\ sum _ { k _ { 一 }=零 } ^ { \ infty } \ ldots \ sum _ { k _ { n }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { \ left ( a _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( a _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } \ left ( b _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( b _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } } { \ left ( c \ right ) _ { k _ { 一 } + \ dots k _ { n } } } } { \ frac { z _ { 一 } ^ { k _ { 一 } } \ ldots z _ { n } ^ { k _ { n } } } { k _ { 一 } ! \ ldots k _ { n } ! } } ; / \ max ( \ left | z _ { 一 } \ right | , \ dots , \ left | z _ { n } \ right | ) < 一 $
影響麗切拉 n 變量函數 $ F _ { C } ^ { ( n ) } $
- $ F _ { C } ^ { ( n ) } \ left ( a ; b ; c _ { 一 } , \ ldots , c _ { n } ; z _ { 一 } , \ ldots , z _ { n } \ right )=\ sum _ { k _ { 一 }=零 } ^ { \ infty } \ ldots \ sum _ { k _ { n }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( a ) _ { k _ { 一 } + \ ldots + k _ { n } } ( b ) _ { k _ { 一 } + \ ldots + k _ { n } } } { \ left ( c _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( c _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } } } { \ frac { z _ { 一 } ^ { k _ { 一 } } \ ldots z _ { n } ^ { k _ { n } } } { k _ { 一 } ! \ ldots k _ { n } ! } } ; / { \ sqrt { \ left | z _ { 一 } \ right | } } + \ ldots + { \ sqrt { \ left | z _ { n } \ right | } } < 一 $
影響麗切拉 n 變量函數 $ F _ { D } ^ { ( n ) } $
- $ F _ { D } ^ { ( n ) } \ left ( a ; b _ { 一 } , \ ldots , b _ { n } ; c ; z _ { 一 } , \ ldots , z _ { n } \ right )=\ sum _ { k _ { 一 }=零 } ^ { \ infty } \ ldots \ sum _ { k _ { n }=零 } ^ { \ infty } { \ frac { \ left ( a \ right ) _ { k _ { 一 } + \ dots k _ { n } } \ left ( b _ { 一 } \ right ) _ { k _ { 一 } } \ ldots \ left ( b _ { n } \ right ) _ { k _ { n } } } { \ left ( c \ right ) _ { k _ { 一 } + \ dots k _ { n } } } } { \ frac { z _ { 一 } ^ { k _ { 一 } } \ ldots z _ { n } ^ { k _ { n } } } { k _ { 一 } ! \ ldots k _ { n } ! } } ; / \ max ( \ left | z _ { 一 } \ right | , \ dots , \ left | z _ { n } \ right | ) < 一 $
當 _ n _=二 , 時 the Lauricella 超幾何函數化做二元阿佩爾函數 :
- $ F _ { A } ^ { ( 二 ) } \ equiv F _ { 二 } , \ quad F _ { B } ^ { ( 二 ) } \ equiv F _ { 三 } , \ quad F _ { C } ^ { ( 二 ) } \ equiv F _ { 四 } , \ quad F _ { D } ^ { ( 二 ) } \ equiv F _ { 一 } . $
當 _ n _=一 , a 則化為超幾何函數 :
- $ F _ { A } ^ { ( 一 ) } ( a , b , c ; x ) \ equiv F _ { B } ^ { ( 一 ) } ( a , b , c ; x ) \ equiv F _ { C } ^ { ( 一 ) } ( a , b , c ; x ) \ equiv F _ { D } ^ { ( 一 ) } ( a , b , c ; x ) \ equiv { _ { 二 } } F _ { 一 } ( a , b ; c ; x ) . $
_ F _ D 積分式
- $ F _ { D } ^ { ( n ) } ( a , b _ { 一 } , \ ldots , b _ { n } , c ; x _ { 一 } , \ ldots , x _ { n } )={ \ frac { \ Gamma ( c ) } { \ Gamma ( a ) \ Gamma ( c-a ) } } \ int _ { 零 } ^ { 一 } t ^ { a 影一 } ( 一-t ) ^ { c-a 影一 } ( 一-x _ { 一 } t ) ^ {-b _ { 一 } } \ cdots ( 一-x _ { n } t ) ^ {-b _ { n } } \ , \ mathrm { d } t , \ quad \ Re \ , c > \ Re \ , a > 零 ~ . $
第三類無完全雞卵行分會當通過三元的孵麗切拉函數表示。
- $ \ Pi ( n , \ phi , k )=\ int _ { 零 } ^ { \ phi } { \ frac { \ mathrm { d } \ theta } { ( 一-n \ sin ^ { 二 } \ theta ) { \ sqrt { 一-k ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ theta } } } }=\ sin \ phi \ , F _ { D } ^ { ( 三 ) } ( { \ tfrac { 一 } { 二 } } , 一 , { \ tfrac { 一 } { 二 } } , { \ tfrac { 一 } { 二 } } , { \ tfrac { 三 } { 二 } } ; n \ sin ^ { 二 } \ phi , \ sin ^ { 二 } \ phi , k ^ { 二 } \ sin ^ { 二 } \ phi ) , \ quad | \ Re \ , \ phi | < { \ frac { \ pi } { 二 } } ~ . $
參考文獻
- Appell , Paul ; Kampé de Fériet , Joseph . Fonctions hypergéométriques et hypersphériques ; Polynômes d'Hermite . Paris : Gauthier–Villars . 千九百二六 . JFM 五十二孵空三六一 . 十三（法國的）. ( see p . 一百十四 )
- Exton , Harold . Multiple hypergeometric functions and applications . Mathematics and its applications . Chichester , UK : Halsted Press , Ellis Horwood Ltd . 一千九百七十六 . ISBN 空抹四百七十五一鋪五千一百九十知空 . MR 四十二追兩千七百十三 .
- Lauricella , Giuseppe . Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 一千八百九十三 ,七( S 一 ) : 一百十一–百五八 . JFM 二十五孵空七五六 . 一 . doi : 十五一空空七 / BF 三百空一鼻兩千四百三十七（義大利語）.
- Saran , Shanti . Hypergeometric Functions of Three Variables . Ganita . 一千九百五十四 ,五( 一 ) : 七十七–九十一矣 . ISSN 四十六曲五千四百空二 . MR 八個七千七百七十七 . Zbl 五十八孵二九六空二 . ( corrigendum 一千九百五十六 in _ Ganita _七, p . 六十五)
- Slater , Lucy Joan . Generalized hypergeometric functions . Cambridge , UK : Cambridge University Press . 一千九百六十六 . ISBN 空九五百二十一五十六千四百八十三-X . MR 二十八空一千六百八十八 . ( there is a 兩千空八 paperback with ISBN 九百七十八追空九五百二十一孵九千空六十一孵二 )
- Srivastava , Hari M . ; Karlsson , Per W . Multiple Gaussian hypergeometric series . Mathematics and its applications . Chichester , UK : Halsted Press , Ellis Horwood Ltd . 一千九百八十五 . ISBN 空抹四百七十五二鋪空一百鋪二 . MR 八十三孵四千三百八十五 . ( there is another edition with ISBN 空空八八五千三百十二孵六百空二-X )
- Erdélyi , A . " Hypergeometric Functions of Two Variables . " Acta Math . 八十三 , 一百三十一孵一百六十四 , 一千九百五十 .
外部連結
- Ronald M . Aarts . Lauricella Functions . MathWorld .