阿蒂亞-辛格指標定理

佇咧數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對絚流形上的雞卵行小可分算子，其實解析指標（佮解空間的維度相關）等於拓指標（決定佇流形的拓撲性狀）。 伊涵攝了微分幾何中真濟大定理，譬論講陳-高斯-博內定理和黎曼－羅赫定理，佇理論物理學中亦有應用。

這定理由邁克爾 ・ 阿蒂亞和艾沙道爾 ・ 辛格佇一九六三年證出。

符號簡述

• _ X _ 是絚微分流形。
• _ E _ 佮 _ F _ 是 _ X _ 大欉的向量。
• $ D : E \ to F'$ 是向量欉之間的雞卵行小可分算子。

微分算子的符號

設 $ D $ 是帶 $ k $ 個變元 $ x _ { 一 } , \ ldots , x _ { k } $ 的 $ n $ 階微分算子。其實符號定義是以 $ x _ { 一 } , \ ldots , x _ { k } , y _ { 一 } , \ ldots , y _ { k } $ 為變元的函數，其定義是共

$ D=\ sum _ { r=零 } ^ { n } \ sum _ { i _ { 一 } + \ ldots + i _ { k }=r } a _ { i _ { 一 } , \ ldots , i _ { k } } ( { \ vec { x } } ) \ partial _ { x _ { 一 } } ^ { i _ { 一 } } \ cdots \ partial _ { x _ { k } } ^ { i _ { k } } $

映至

$ \ sum _ { i _ { 一 } + \ ldots + i _ { k }=n } a _ { i _ { 一 } , \ ldots , i _ { k } } ( { \ vec { x } } ) y _ { 一 } ^ { i _ { 一 } } \ cdots y _ { k } ^ { i _ { k } } $

所以符號嘿變元 $ { \ vec { y } } $ 是個 _ n _ 誠齊次多項式。若這多項式滿足 $ P ( { \ vec { y } } )=零 \ Leftrightarrow { \ vec { y } }=零 $，則稱 $ D $ 是雞卵行算子。

例一. 帶 $ k $ 個變元的拉普拉斯算子其符號做 $ y _ { 一 } ^ { 二 } + \ ldots y _ { k } ^ { 二 } $，這是一个雞卵行算子。

以上所講是 $ \ mathbb { R } ^ { k } $ 上的偏微分算子。今考慮微分流形 $ X $，其上的 $ n $ 階偏微分算子會當藉局部坐標系定義。現此時其符號是 $ X $ 的切密密 $ p : T ^ { * } X \ to X $ 上的函數；嘿固定的 $ x \ in X $，其符號是向量空間 $ T _ { x } ^ { * } X $ 上的 $ n $ 次齊次函數，這定義佮局部座標的選取無關係（偏微分算子咧坐標變換落來的變換較複雜，只會當以射流欉定義；毋過其上懸階項的變換規律佮張量來講是仝款）。

進一步言之，對向量欉之間的偏微分算子 $ D : E \ to F $（仝款以局部坐標定義）， 其符號是搝回欉 $ p ^ { * } \ mathrm { Hom } ( E , F ) $ 的截面。若對每一个 $ x \ in X $，現符號的限制為著欲逆影射 $ E _ { x } \ to F _ { x } $，則稱 $ D $ 為雞卵行算子。

粗略來講，雞卵行算子的關鍵特性佇咧𪜶「差不多」可逆。對絚流形上的雞卵行算子 $ D : E \ to F $，存在一个雞卵行小可分算子 $ D'$ 予得 $ DD'$ 佮 $ D'D $ 攏是絚算子。由此會當推知 $ D $ 的核佮餘核攏是有限維的。

解析指標

既然 $ D $ 有反顛倒，伊就是 Fredholm 算子。嘿這類算子，可定義指標替

Index ( _ D _ )=Dim Ker ( D ) − Dim Coker ( _ D _ )=Dim Ker ( D ) − Dim Ker ( _ D _ \ * )。

佇微分幾何的脈絡下，定號做 $ D $ 的解析指標。

例二. 考慮流形 $ \ mathbb { S } ^ { 一 } :=\ mathbb { R } / \ mathbb { Z } $，算子 $ D={ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } }-\ lambda $，其中 $ \ lambda \ in \ mathbb { C } $，這上簡單的雞卵行算子。若是 $ \ lambda \ in 二 \ pi i \ mathbb { Z } $，著 $ \ mathrm { Ker } ( D )=\ mathbb { C } e ^ { \ lambda x } $，反對對叫做零空間；其實烏白算子 $ D ^ { * } $ 滿足類似的性質，袂歹算出來 $ D $ 指數是零。所以會當對這件代誌 $ \ dim \ mathrm { Ker } ( D ) $ 佮 $ \ dim \ mathrm { Ker } ( D ^ { * } ) $ 佇咧 $ \ lambda $ 變化時可能有無連紲點，但是差則是一个常數。

拓指標

設 $ X $ 是 _ n _ 維緊微分流形，雞卵行偏微分算子 $ D : E \ to F $ 的拓撲指標定義為

$ ( 影一 ) ^ { n } \ mathrm { ch } ( D ) \ mathrm { Td } ( X ) [X]=( 影一 ) ^ { n } \ int _ { X } \ mathrm { ch } ( D ) \ mathrm { Td } ( X ) $

換言之，是仝調類 $ \ mathrm { ch } ( D ) \ mathrm { Td } ( X ) $ 的上懸維項佇咧 $ X $ 的基本鬥調類上的取值。在此：

• $ \ mathrm { Td } ( X ) $ 是流形的 Todd 類。
• $ \ mathrm { ch } ( D )=\ phi ^ { 影一 } ( \ mathrm { ch } ( d ( p ^ { * } E , p ^ { * } F , \ sigma ( D ) ) ) $，在此 $ \ phi : H ^ { k } ( X , \ mathbb { Q } ) \ to H ^ { n + k } ( B ( X ) / S ( X ) , \ mathbb { Q } ) $ 是托姆同構，$ B ( X ) , S ( X ) $ 指單位球叢佮其邊界。
• $ \ mathrm { ch } $ 是陳特徵，$ \ sigma ( D ) $ 是 $ D $ 的符號，而且 $ d ( p ^ { * } E , p ^ { * } F , \ sigma ( D ) ) $ 是 K 理論中定義的差元。

佇特別情形下，頂懸的定義會當予簡單化。設 $ X $ 為一个 $ 二 m $ 維、會當向、快的流行，閣假使伊的歐拉示性數無等於零。引用托姆同構並且對分類空間 $ BSO $ 的上同調環拉回歐拉類的逆元，咱會當共拓樸指標寫做

$ ( 影一 ) ^ { m } \ int _ { X } { \ frac { \ operatorname { ch } ( E )-\ operatorname { ch } ( F ) } { e ( TX ) } } \ operatorname { Td } ( X ) $

指標定理

符號同前。雞卵行算子 $ D $ 的解析指標佇微細的擾動之下無變，因此產生一个自然的問題，這號做指標問題：敢會當流形 $ X $ 佮向量欉 $ E , F $ 的拓撲無變量表示解析指標？

阿蒂亞-辛格指標定理予出的解答是：

_ D _ 的解析指標等於拓撲指標解析指標通常誠歹計算，就按呢拓捕指標雖然是定義複雜，煞往往有直節矣做的幾何意義。藉著選取適當的雞卵行算子 $ D : E \ to F $，指標定理會當予出豐富的幾何信息。

例

歐拉示性數

設 $ X $ 為止有定向的牢流形。任選一黎曼度量，號 $ E :=\ bigwedge ^ { \ mathrm { even } } T ^ { * } X $，並取 $ F :=\ bigwedge ^ { \ mathrm { odd } } T ^ { * } X $，定義算子 $ D :=d + d ^ { * } : E \ to F $。現此時的拓撲指標等於 $ X $ 的歐拉示性數，解析指標等於 $ \ sum _ { i } ( 影一 ) ^ { i } \ dim H _ { \ mathrm { DR } } ^ { i } ( X ) $。

希策布魯赫-黎曼-羅赫定理

設 $ X $ 為著欲複流形，$ V $ 替其實伊做其他的複向量。定義

$ E :=V \ otimes \ bigoplus _ { i : \ mathrm { even } } \ Omega _ { X } ^ { 零 , i } $

$ F :=V \ otimes \ bigoplus _ { i : \ mathrm { odd } } \ Omega _ { X } ^ { 零 , i } $

$ D :={ \ overline { \ partial } } + { \ overline { \ partial } } ^ { * } : E \ to F $

是解析指標等於

$ \ mathrm { Index } ( D )=\ sum ( 影一 ) ^ { p } \ dim H ^ { p } ( X , V ) $

來拓捕指標等於

index ( _ D _ )=ch ( _ V _ ) Td ( _ X _ ) [_ X _] ,

 虧格佮 Rochlin 定理

流形的啦 Â 虧格是一个有理。對彼个自旋的流形，這个值總是整數，若是 $ \ dim X \ equiv 四 \ mod 八 $，則伊猶是尪仔數。這个定理會當由指標定理出，方法是考慮適當的狄拉克算子；當 $ \ dim X \ equiv 四 \ mod 八 $ 時，這算是核與餘核帶有四元數環上的向量空間結構，其複維度必為偶數，因為按呢解析的指標嘛必須是偶數。

歷史淵源

起爾芳特首先愛注意著解析指標的同倫不變性，並佇一九五九年提出了雞卵行算子的指標問題，希望用流形的拓撲無變量描述解析指標。黎曼-羅赫定理是上早知影的特例；另外一方面，波萊爾和希策布魯赫早前證明矣自旋流形的 Â 虧格的整性，並且猜想講這个性質會當由某一个狄拉克算子的指標詮釋。這个問題原仔由阿蒂亞佮辛格佇咧一九六一年聯手解決。

阿蒂亞佮辛格佇一九六三年宣佈𪜶的指標定理，但是無正式發表，干焦出現佇 Palais 佇一九六五年出版的冊頂懸。𪜶佇一九六八年發表了第二个證明，用 K 理論取代了初版證明中的配邊論手法。

阿蒂亞、博特佮 Patodi 佇一九七三年以熱傳導方程的手法予出另外一个證明。格茨勒基於愛德華 ・ 維騰（一千九百八十二）佮 Alvarez-Gaume（一千九百八十三）的想法，予出了局部狄拉克算子的局部指標定理的簡短證明，這涵攝了實際應用中的大多數例。

證明手法

偽微分算子

偽微分算子的想法會當對歐氏空間頂懸的常係數偏微分算子解說，此情形下，遮的算子毋外是濟項式函數的傅立葉變換；若阮容允更一般的函數，其傅立葉變換就構成矣偽微分算子。對一般的流形，會當透過局部坐標系定義偽微分算子，只是手繼續小可仔厚工一寡。

指標定理的濟濟證明攏利用偽微分算子，毋是一般的微分算子，因為前者的理論閣較好額。比如講伊，雞卵行算的偽逆毋是微分算子，煞猶是偽微分算子；另外一方面，群 $ K ( B ( X ) , S ( X ) ) $ 的元素對應著雞卵行小分算子的符號。

對偽微分算子會當定義階數，這个數會當是任意實數，甚至是負無窮大；此外嘛會當定義其符號。雞卵行細分算子定義為一寡對長度有夠長的餘切向量為可逆的偽微分算子。指標定理的多數版本攏會當推廣到雞卵行小分算子的情形。

配邊

指標定理的頭一个證明奠基於希策布魯赫-黎曼-羅赫定理，並且運用著配邊的理論佮偽微分算子。想法共伊簡述一下。

考慮由資料 $ ( X , V ) $ 構成的環，其中 $ X $ 是緊定向微分流形，$ V \ to X $ 是向量欉，其加法佮乘法分別由無交並佮積導出；咱考慮著這个環嘿關係 $ ( \ partial X , V | _ { \ partial X } ) \ sim 零 $ 的商環。這个構造類似配邊環，猶毋過現此時阮閣想欲佮流形頂懸的向量密密。解析指標佮撲指標攏會當釋做為自此環映到整數環的同態。托姆的配邊理論予出了這个環的一組生成元，咱會當對遮的較簡單的例驗證指標定理，對而導出一般的情形。

K 理論

阿蒂亞和辛格正式發表的頭一个證明採用矣 K-理論。設 $ X , Y $ 為欲流形，$ i : X \ to Y $ 為著駐入，𪜶對雞卵行算子定義一个推前運算 $ i _ { ! } $，並證明 $ i _ { ! } $ 保持指標。阮一方面會使號 $ Y $ 為一个包括 $ X $ 的高維球面；另外一方面，猶原取 $ Y $ 為前咧講球面，而且 $ X $ 為其內一點仔。因為 $ i _ { ! } $ 保持指標，就按呢拓捕指標也有相容的運算，兩相比較後會當共指標定理化約仔到一个點的情形，現此時真𠢕證明。

熱傳導方程

阿蒂亞、博特佮 Patodi 佇一九七三年予出著熱傳導方程手法的證明。格茨勒、伯利納佮擬尼佇二空空二年予出一个精神相倚的簡化證明，其中利用超對稱的想法。

設 $ D $ 為偏微分算子，$ D ^ { * } $ 為其伴隨算子，著$ D ^ { * } D $、$ DD ^ { * } $ 是自伴算子，並且有相仝的非零特徵值（記入重數）， 毋過𪜶核空間無一定愛有仝款維持。$ D $ 彼个指標寫作

$ \ mathrm { Index } ( D )=\ dim \ mathrm { Ker } ( D )-\ dim \ mathrm { Ker } ( D ^ { * } )=\ mathrm { Tr } ( e ^ {-tD ^ { * } D } )-\ mathrm { Td } ( e ^ {-tDD ^ { * } } ) $

在此 $ t > 零 $ 可任取。

上式正爿是兩个燒核的差，𪜶咧 $ t \ to 零 + $ 是有漸漸表示式，伊雄雄看複雜，毋過無變量理論表明其中有真濟相銷，從此會當確寫下領導項，按呢會當證出指定理。遮的相銷現象較等咧嘛得著超對稱理論的詮釋。

推廣

• 推廣至雞卵行小可分算子的情形。
• 是考慮著的雞卵行，這是一个向量欉構成的上鍊複形

零 → _ E _ 零 → _ E _ 一 → _ E _ 二 → . . . → _ E _ m → 空其中的逐个箭頭攏是偽微分算子，其符號構成一个正合複形。當做干焦兩項非零時，前述條件等價數佇其間的算子是雞卵行的，因此雞卵行算子是雞卵行的特例。反過來講，予定一个雞卵行複形，分別考慮其奇次項佮尪仔次項的直和，其間的映射由原複形的影射佮伴隨映射予出，按呢會當到雞卵行算子。

• 𤆬邊界的流形。
• 考慮一族以流形 $ Y $ 為參數空間來變化雞卵行算子，相應的解析指數會當定義做 $ K ( Y ) $ 元素。
• 設李群 $ G $ 作用佇絚流形 $ X $ 上，並佮所論的雞卵行算子交換，則咱會當用等變 K 理論代替一般的 K 理論，得著的結果稱做等變指標定理。
• L 二指標定理。

阿貝爾獎公告頂懸的引語

做阿蒂亞佮辛格佇二空空四年得著阿貝爾獎的時，公告上是遮爾仔形容阿蒂亞-辛格指標定理的：

參考資料

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外部連結

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