雅各布森根

佇咧抽象代數之分支環理論中，一个環 _ R _ 的雅各布森根（Jacobson radical）是 _ R _ 的一个理想，包含佇咧某一種意義「佮無接近」的遐的元素。

定義

雅各布森根記做 J ( _ R _ ) 會當用下等價的方式定義：

• 所有極大左理想之交。
• 所有極大右理想之交。
• 所有的單左 _ R _-模仔的零化子之交。
• 所有單正 _ R _-模仔的零化子之交。
• 所有倒本原理想（primitive ideal）之交。
• 所有正本原理想之交。
• { _ x _ ∈ _ R _ : 對任何 _ r _ ∈ _ R _ 存在 _ u _ ∈ _ R _ 予得 _ u _ ( 一-_ rx _ )=一 }
• { _ x _ ∈ _ R _ : 對任何 _ r _ ∈ _ R _ 存在 _ u _ ∈ _ R _ 予得 ( 一-_ xr _ ) _ u _=一 }
• 若是 _ R _ 會當交換，_ R _ 的所有真大理想之交。
• 最大理想 _ I _ 會當對所有 _ x _ ∈ _ I _，一-_ x _ 佇咧 _ R _ 中可逆。

注意，上尾一个性質無意味 _ R _ 中使一-_ x _ 可逆的任何元素 _ x _ 攏是 J ( _ R _ ) 的一个元素。

另外咧，若是 _ R _ 毋通交換，著 J ( _ R _ ) 毋免等於 _ R _ 中所有雙爿極大理想之交。

雅各布森根嘛會當對無恆同元素（抑是講單位）的環定義。參見 I . N . Herstein 所以《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以內森 ・ 雅各布森（Nathan Jacobson）號名，伊代先研究雅各布森根。

例

• 任何域的雅各布森根是 { 零 }。整數的雅各布森根是 { 零 }。
• 環Z/ 八Z（參見模算術）的雅各布森根是二Z/ 八Z。
• 若是 _ K _ 是一个域，_ R _ 是所有的元素位佇 _ K _ 中的上三角 _ n _ × _ n _ 矩陣環，著 J ( _ R _ ) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
• 若是 _ K _ 是域，_ R _=_ K _ [[ _ X _ 一 , . . . , _ X _ n] ] 是形式冪級數環，著 J ( _ R _ ) 由常數項做零的所有冪級數組成。閣較一般，任何局部環的雅各布森根由這个環的非單位環組成。
• 由一个有限箭圖（quiver）Γ 佮一个所在 _ K _ 開始，考慮箭圖的代數 _ K _ Γ（佇箭圖一文有具體說明）。 這環境的雅各布森根由 Γ 中所有長度 ≥ 一个道路生成。
• 一个 C \ *-代數的雅各布森根是 { 零 }。這著家己起范德-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及關於 C \ *-代數的事實，一个希爾伯仔特空間上的拓撲袂用得約 \ *-表示是代數不可約的，自按呢其核在純代數意義上是一个本原理想（參見 C \ *-代數的譜）。

性質

• 除非講 _ R _ 是平凡環 { 零 }，雅各布森根總是 _ R _ 中無等於 _ R _ 的理想。
• 若是 _ R _ 通好交換有限生成Z-模，著 J ( _ R _ ) 等於 _ R _ 的摃零根（nilradical）。
• 環 _ R _ / J ( _ R _ ) 的雅各布森根等於零。有零雅各布森根的環號做半本（semiprimitive ring）。
• 若是 _ f _   : _ R _ → _ S _ 是一个真環同態，著 _ f _ ( J ( _ R _ ) ) ⊆ J ( _ S _ )。
• 若是 _ M _ 是一个有限生成左 _ R _-模滿足 J ( _ R _ ) _ M _=_ M _，著 _ M _=零（中山引理）。
• J ( _ R _ ) 包含 _ R _ 的逐个捀零理想（nil ideal）。 若是 _ R _ 是左右阿廷環仔，著 J ( _ R _ ) 是一个冪零理想（nilpotent ideal）。 注意，但是一般雅各布森根毋免由環中冪空元素組成。
• _ R _ 是半單環若是而且伊是阿廷環且其雅各布森根為零。

另見

• 模的根（Radical of a module）
• 理想的根

參考文獻

• M . F . Atiyah , I . G . Macdonald . _ Introduction to Commutative Algebra _ .
• N . Bourbaki . _ Éléments de Mathématique _ .
• I . N . Herstein , _ Noncommutative Rings _ .
• R . S . Pierce . _ Associative Algebras _ . Graduate Texts in Mathematics vol 八十八 .
• T . Y . Lam . _ A First Course in Non-commutative Rings _ . Graduate Texts in Mathematics vol 一百三十一 .

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