電動勢

佇咧電路學內面，電動勢（英語：electromotive force，縮寫為 EMF，抑是以 $ { \ mathcal { E } } $ 表示）表徵一寡電路元件供應電能的特性。遮的電路的元件叫做「電動的勢源」。電化電池、太陽能電池、燃料電池、熱電裝置、發電機等等，攏是電動的勢源。電動勢源所供應的能量逐單位電錢是其電動勢。準講，電荷 $ Q \ , $ 移動經過一个電動勢源了後，得著能量 $ W \ , $，這件代誌的電動勢定義為 $ { \ mathcal { E } }={ \ frac { W } { Q } } $。通常，這能量是分離正負電錢所作的功，因為這正負電錢予人分離至元件的兩爿，會出現對應電場佮電位差。

佇咧電磁學內底，電動勢閣分兩種：感應電動勢（induced EMF）佮動生電動勢（motional EMF）。根據法拉第感應定律，處於有含著磁場的閉電路，因為磁場綴時間咧改變，會感應電動勢出現佇咧閉電路。感應電動勢等於電場沿著閉電路的路徑積分。處佇咧閉電路的帶電粒仔會感受著電場，因為產生電流。

徙佇磁場的幼直導線，其內部會出現動生電動勢。佮這導線的電荷，根據勞侖茲力定律，會感受著勞侖茲力，對造成正負電錢分離至直棍的兩爿。這動作會成做一个電場佮伴隨的電場力，抗拒勞侖茲力，一直到兩種作用力達成平衡。

歷史

對一八二五年到一八二六年之間，格奧爾格・歐姆做了真濟有關於著電路的實驗。一八二七年，佇咧伊發表的冊《直流的電路的數學研究》（_ Die galvanische Kette , mathematisch bearbeitet _）內底，論述真濟遮的實驗佮對遮的實驗內底得著的結果，包括出名的「歐姆定律」。歐姆注意著電路所需要的電源是由電池供給的，電池佮電路內面的各種物理現象應該是有密切的關係。伊推論電池有啥物種「驅動力」，會使驅使電流動佇電路。伊共幾个伏拍電池串聯做伙，發覺電流和伏打電池的數量成正比。所以，伊提出驅動力佮電流成正比。這驅動力就是這馬的電動勢，佇一个簡單的電阻電路內底，電動勢等於電流乘以電阻。

後來，佇一八三一年，麥仔可・法搝第做一系列有關電磁感應的實驗，對遮的實驗，伊發現以下幾點：

一 . 當改變載流導線的流導的時陣，附近的閉電路會予人感應出電流。二 . 做移動吸石的時陣，附近的閉電路會予人感應出電流。三 . 做移動閉電路載流導線抑是吸石仔附近的時陣，這閉電路會予人感應出電流。

佇一八三二年，會當搝第閣發現，產生佇無仝導線的感應電流佮導線的電導率成正比。因為電導率佮電阻做反比，這顯示出感應作用牽涉著電動勢，感應電流是由電動勢面驅使導線的電荷移動而形成的；而且，無論導線是開電路，抑是閉電路，攏會感應出電動勢。

嚴格定義

當佇平衡狀態的時陣，佇一个呈開電路狀態的電動勢源元件（譬如講電池）內部，電動勢促使正電錢佮負電錢被分離至元件兩爿。電荷分離形成的保守性靜電場 $ \ mathbf { E } _ { cs } $ 所產生的電場力，完全抵銷矣產生電動勢 $ { \ mathcal { E } } $ 的作用力。電場 $ \ mathbf { E } _ { cs } $ 沿電動勢源的內部路徑，對負端點 $ a $ 到正端點 $ b $ 的積分，佮電動勢大細相等，正負倒反。電動勢乃是搬徙正電荷於電動勢源的內部路草，對負端點到正端點，抗拒電場 $ \ mathbf { E } _ { cs } $ 所作的功每一个電荷。用方程式去表達，

$ { \ mathcal { E } }=-\ int _ { a } ^ { b } \ mathbf { E } _ { cs } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $；

其中，$ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $ 是微小線元素向量。

對電動的勢源，這個正電荷會感受著的電場 $ \ mathbf { E } _ { emf } $，其實佮電動勢的關係為

$ { \ mathcal { E } }=\ int _ { a } ^ { b } \ mathbf { E } _ { emf } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。（一）

對於閉迴路案例，假使閉迴路 $ \ mathbb { C } $ 所圍咧的固定曲面，佇這曲面的彼个磁場 $ \ mathbf { B } $ 佮時間有關係，則根據法拉第感應定律，會感應電動勢 $ { \ mathcal { E } } $ 出現佇這个迴路：

$ { \ mathcal { E } }=-\ int _ { \ mathbb { S } } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } } { \ partial t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }=-{ \ frac { \ mathrm { d } \ phi _ { B } } { \ mathrm { d } t } } $；

其中，$ \ mathbb { S } $ 是邊仔為著閉迴路 $ \ mathbb { C } $ 的任意曲面，$ \ mathrm { d } \ mathbf { a } $ 是微小面元素向量，$ \ phi _ { B } $ 是穿過彼曲曲 $ \ mathbb { S } $ 的彼个磁通量。

電場沿著閉迴路的環流量袂等於零，會等於感應電動勢：

$ { \ mathcal { E } }=\ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { E } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $；

其中，$ \ mathbf { E } $ 是總電場，包括保守性電場 $ \ mathbf { E } _ { cs } $ 和非保守性電場 $ \ mathbf { E } _ { ncs } $。

對這个案例，靜電場並毋是總電場的維一的貢獻者。靜電場的部份是保守的。靜電場的部份沿著閉迴路的電場環流量等於零，干焦非保守性電場 $ \ mathbf { E } _ { ncs } $ 會貢獻出感應電動勢：

$ { \ mathcal { E } }=\ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { E } _ { ncs } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $；

這定義會當延伸到任意電動勢源佮徙動的閉迴路 $ \ mathbb { C } $（佇移動佇磁場的閉迴路內底會出現動生電動勢 $ \ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $）：

$ { \ mathcal { E } }=\ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { E } _ { emf } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }=\ oint _ { \ mathbb { C } } \ left ( \ mathbf { E } _ { ncs } + \ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } \ right ) \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } + { \ frac { 一 } { q } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ \ mathbf { f } _ { c } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } + { \ frac { 一 } { q } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ \ mathbf { f } _ { t } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $ ;

其中，$ \ mathbf { f } _ { c } $ 是有效化學作用力，$ \ mathbf { f } _ { t } $ 是有效熱作用力，$ \ mathbf { v } $ 是微小線元素的移動速度。

共勞侖茲力方程式代入，

$ { \ mathcal { E } }={ \ frac { 一 } { q } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { f } _ { lorentz } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } + { \ frac { 一 } { q } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ \ mathbf { f } _ { c } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } + { \ frac { 一 } { q } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ \ mathbf { f } _ { t } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $ ;

其中，$ \ mathbf { f } _ { lorentz }=q ( \ mathbf { E } _ { ncs } + \ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } ) $ 是勞侖茲力。

因為誠歹準確的計算出有效化學作用力佮有效熱作用力，這方程式只是一个概念方程式。

標記佮度量單位

電動勢通常會以希臘字母 $ { \ mathcal { E } } $ 標記。

予一个內部電阻擋做零的元件，假使電荷 $ Q $ 因為移動經過元件，得著能量 $ W $，則上元件的淨電動勢為的得著的能量每一个電錢 $ W / Q $。用國際單位制，親像其他的能量每一个電荷的度量，電動勢的單位是伏特（volt），等價數於焦耳／庫侖（joules per coulomb）。

採用厘米-克-秒制，電動勢的單位是靜伏特（statvolt），等價數佇咧爾格／靜庫侖（erg per statcoulomb）。

電動勢佮路端電壓的關係

理想電動勢源無任何內阻，放電佮充電袂浪費任何電能。理想電動勢源予出的電動勢佮其路端電壓相等。

佇實際應用中，電動的勢源不可避免地有一定的內阻。實際電動勢源的電阻會當看做一个理想電動勢源串聯一个電阻為內阻的電阻器。內阻的大細號決於電動勢源的大細、化學性質、使用時間、溫度佮負載電流。

佇咧通電的閉電路內底，內底阻擋甲真好嘛負載，並且消耗電能。

放電電路：我咧放電路內底，二者關係為 $ { \ mathcal { E } }=V + Ir $，其中 $ V $ 表示電路端電壓，$ I $ 表示迴路電流，$ r $ 表示內阻。
充電電路：踮佇咧充電電路內底，二者關係為 $ { \ mathcal { E } }=V-Ir $，其中 $ V $ 表示外加充電電源提供予被充電電源兩爿的電壓。

佇一个呈開電路狀態的電動勢源內部，因為電流做零，電動勢佮路端電壓相等。

電動勢源元件

會當供應電動勢的元件有足濟種，比如講，電化電池、太陽能電池、燃料電池、熱電裝置、發電機等等。

電池靠著位佇電極的化學反應來產生電動勢。遮的化學反應分離正負電佮電池的兩爿點，對造成電位䆀。伏拍電池是大多數電池的原型。伏拍電池會使試看覓，佇每一个電極，攏裝有一个原子 sài-sù 的電荷phóng-phuh咧；也就是講，

咧發電機內底，電動勢的運作所遵守的主要原理是法拉第感應定律。含著磁場通過電磁感應產生電動勢，啊若這電動勢造成發電機兩爿的電錢分離佮電位差。電荷對一个捀點徙到另外一个捀點，到兩爿的分離電荷所產生的電場會當阻止閣較濟的電錢分離。電動勢佮電荷分離產生的電位差相閃身。準講佇發電機兩爿連結一个負載，電動勢會驅使電流過負載。

太陽能電池抑是光電二極體是另外一款電動勢源；太陽能電池使用光能為外來能源，會當共光能變做電能，是大面積的光電二極體。

燃料電池是一種使用燃料進行化學反應產生電力的裝置。上捷看的是一種以氫氧為燃料的質子交換膜燃料電池，因為燃料價數平宜，加上對人體無化學危險、對環境無害，發電了後產生純水佮熱，佇商業佮工業方面有相當講法的用途。

電動勢生做機制

電化電池

佇咧十九世紀的一大段時間，真濟科學家攏致使揣電池（伽凡尼電池）產生電動勢的機制。終其尾，瓦爾特・能斯特發現電動勢的作用點是處電極佮電解質之間的接觸面。

頂懸分子是一陣原子靠化學鍵連接做伙而形成。遮的化學鍵是電子佮質子之間互相吸引的電場力。孤立的分子是穩定實體；但是當將無仝的撇步做伙的時陣，有一寡種類的分子會當偷提其他分子的電子，造成電荷分離。這種電荷重新分佈會改變規个系統的能量，佮分子內底原子的重新組態。

氧化反應是化合價衝懸，失去電子的反應；閣原反應是化合價降低，得著電子的反應。發生這種電子交換事件的反應叫做氧化閣原反應。佇咧電池內底，陽極是發生氧化反應的電極（抑是失去電子的電極）；陰極是發生還原彼个反應的電極（抑是得著電子的電極）。這仝款的物理行為會當對原子本身觀察出來。原子偷取電子的能力叫做電負性舉例來講，佇丹尼耳電池內底，鋅陽極的鋅原子會溶解於硫酸鋅溶液，溶解的鋅原子會遺留其電子佇陽極，根據氧化反應（_ s _=固體陽極，_ aq _=水溶液）：

$ \ mathrm { Zn } ( s ) \ rightarrow \ mathrm { Zn } ^ { 二 + } ( aq ) + 二 \ mathrm { e } ^ {-} $。

硫酸鋅是一種電解質，咧溶液內有會用得引電的離子，鋅離子 $ \ mathrm { Zn } _ { } ^ { 二 + } $ 佮硫酸根啦離子 $ \ mathrm { SO } _ { 四 } ^ { 二-} $。

佇丹尼爾電池的銅陰極區域，根據猶原反應，硫酸銅電解質的銅離子會對陰極獲得電子：

$ \ mathrm { Cu } ^ { 二 + } ( aq ) + 二 e ^ {-} \ rightarrow \ mathrm { Cu } ( s ) $。

予中性化的銅原子會電鍍佇銅陰極表面。

電子會過外電路（示意圖內的檢流計），毋過硫酸根離子會通過鹽橋，按呢乎，會當保持電荷平衡。當反應進行的時，鋅陽極會緩慢仔溶解，銅陰極表面會予電鍍。假若外電路予人斷去，因為電錢分離產生的電場會抗拒兩个電極之間的電動勢，反應會停止。

熱力學電動勢

佇熱力學，電動勢 $ { \ mathcal { E } } $ 乘用電荷量 $ Z $，就是分離電荷所做的功項目。對這个會當逆過程，當電動勢促使電荷佇電池內面徙振動的時陣，內底會當變化包括這項目：

$ \ mathrm { d } U=T \ mathrm { d } S-P \ mathrm { d } V + { \ mathcal { E } } \ mathrm { d } Z $；

其中，$ U $ 是內能，$ S $ 是否，$ T $ 是絕對溫度，$ V $ 是體積，$ P $ 是壓強。

假使電池是丹尼耳電池，因為佇這種電池內底進行的反應袂產生氣體，系統體積無變，方程式簡化做

$ \ mathrm { d } U=T \ mathrm { d } S + { \ mathcal { E } } \ mathrm { d } Z $。

予人 $ S $ 為 $ T $ 和 $ Z $ 的函數，枋的全微分做

$ \ mathrm { d } S=\ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial T } } \ right ) _ { Z } \ mathrm { d } T + \ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial Z } } \ right ) _ { T } \ mathrm { d } Z $。

準講等溫的過程，遐爾，方程式正手爿的頭一个項目等於零：

$ \ mathrm { d } S=\ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial Z } } \ right ) _ { T } \ mathrm { d } Z $。

共這方程式提入去內能的方程式：

$ \ mathrm { d } U=\ left \ { { \ mathcal { E } } + T \ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial Z } } \ right ) _ { T } \ right \ } \ mathrm { d } Z $。

這方程式正手爿的第二个項目是「充電熱」（heat of charging），定義為在一个等溫馴的充電過程，系統的熱能吸收率 $ C _ { T } ^ { ( Z ) } $：

$ C _ { T } ^ { ( Z ) } \ { \ stackrel { def } {=} } \ { \ frac { \ mathrm { d } Q _ { T } } { \ mathrm { d } Z } }=T \ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial Z } } \ right ) _ { T } $。

吸收率 $ C _ { T } ^ { ( Z ) } $ 較袂計算，會當揣閣較有路用的變數替換。思考亥姆霍茲自由能 $ F $：

$ \ mathrm { d } F=\ mathrm { d } U-\ mathrm { d } ( TS )=-S \ mathrm { d } T + { \ mathcal { E } } \ mathrm { d } Z $。

所以乎，$ ( { \ mathcal { E } } , \ Z ) $ 是一對共車變量（conjugate variables）。其馬克士威關係式是：

$ \ left ( { \ frac { \ partial { \ mathcal { E } } } { \ partial T } } \ right ) _ { Z }=-\ left ( { \ frac { \ partial S } { \ partial Z } } \ right ) _ { T } $。

閣有內能的方程式：

$ \ mathrm { d } U=\ left \ { { \ mathcal { E } }-T \ left ( { \ frac { \ partial { \ mathcal { E } } } { \ partial T } } \ right ) _ { Z } \ right \ } \ mathrm { d } Z $。

通常，電動勢佮溫度 $ T $、電荷量 $ Z $ 有關。假若，會當使丹尼耳電池內底的溶液保持飽和狀態，有真濟字目隨時準備欲分解進入去溶液，電動勢佮電錢量無關係，干焦佮溫度有關係：

$ \ mathrm { d } U=\ left ( { \ mathcal { E } }-T { \ frac { \ mathrm { d } { \ mathcal { E } } } { \ mathrm { d } T } } \ right ) \ mathrm { d } Z $。

對丹尼耳電池，體積無欲變，準講等壓過程，是抹的改變 $ \ Delta H $，這號做「反應熱」，等於內會當的改變：

$ \ Delta H=\ Delta ( U + PV )=\ Delta U $。

予一个無耳的金屬佇原子進入溶液所需要的電錢量為

$ \ Delta Z=zN _ { A } e $；

其中，$ z $ 是金屬離子的這个電價，$ N _ { A } $ 是亞佛加厥常數，$ e $ 是基本電錢量。

假使恆壓、恆體積，則電池的熱力學性質佮電動勢的關係，用方程式去表達為

$ \ Delta H=zN _ { A } e \ left ( { \ mathcal { E } }-T { \ frac { d { \ mathcal { E } } } { \ mathrm { d } T } } \ right ) $。

按呢乎，只要得著電動勢佮溫度之間關係的資料，對測量電動勢佮溫度的數據，真容易就會當準確地計算出某化學反應的反應熱。

動生電動勢

一寡發電機的基本運作原理牽涉著動生電動勢概念。移動佇磁場的導線，其內部會出現電動勢，這號做「動生電動勢」。如圖正所示，假使一條長度做 $ L $ 幼直導線，以速度 $ \ mathbf { v } $ 移動佇磁場 $ \ mathbf { B } $。磁場 $ \ mathbf { B } $ 以箭尾抑是叉仔表示。思考佇這導線內的電荷 $ q $，根據勞侖茲力定律，會感受著勞侖茲力 $ \ mathbf { F } _ { lorentz } $：

$ \ mathbf { F } _ { lorentz }=q \ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } $。

佇遮，勞侖茲力嘛是磁場力。因為感受著這磁場力，當電荷會向導線的頂頭徙振動，負電錢會往導線的下跤兜徙振動。佇穩定平衡的狀態，這動作會形成一个電場 $ \ mathbf { E } $：

$ \ mathbf { E }=-\ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } $。

親像進前方程式（一）的定義，電動的勢定義做，搬徙正電荷於導線路徑 $ \ mathbb { L } $，對負端點到正端點，抗拒電場 $ \ mathbf { E } $ 所作的功每一个電荷，用方程式表示講

$ { \ mathcal { E } }=-\ int _ { \ mathbb { L } } \ mathbf { E } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }=\ int _ { L } { \ frac { \ mathbf { F _ { lorentz } } } { q } } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }=vBL $。

對這个案例，假若達到穩定平衡的狀態，是電流等於零。假使載流導線佮其他的元件連結做伙電路，會因為動生電動勢來產生電流。比如講，共一个電阻 $ R $ 佮導線的兩爿牽連做伙，是流過電阻的電流 $ I $ 為

$ I={ \ mathcal { E } } / R==vBL / R $。

法拉第感應定律導引

法拉第感應定律指出，穿過任意曲面的磁通量變化率，佮圍咧這个任意曲面的閉迴路所出現的電動勢，兩个之間的關係為：

$ { \ mathcal { E } }=-{ \ frac { \ mathrm { d } \ Phi _ { B } } { \ mathrm { d } t } } $；

其中，$ { \ mathcal { E } } $ 是電動勢，$ \ Phi _ { B } $ 是磁通量，$ t $ 是時間。

佇時間 $ t $ 穿過任意曲面 $ \ Sigma ( t ) $ 的彼个磁通量 $ \ Phi _ { B } ( t ) $ 定義做

$ \ Phi _ { B } ( t ) \ { \ stackrel { def } {=} } \ \ int _ { \ Sigma ( t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } $；

其中，$ \ mathbf { r } $ 是場位置，$ \ mathrm { d } \ mathbf { a } $ 是微小面元素。

法拉第感應定律的方程式，以積分形式表示為

$ { \ mathcal { E } }=-{ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } \ int _ { \ Sigma ( t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } $。

法拉第感應定律表明了磁通量佮電動勢之間的關係。本段落會應用一寡向量微積分的方法佮工具，對這定律的積分形式推導出微分形式。

假使圍牢任意曲面 $ \ Sigma ( t ) $ 的閉迴路 $ \ partial \ Sigma ( t ) $ 以常速度 $ \ mathbf { v } $ 移動佇磁場。遐爾，磁通量對時間的全部份是

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { d } \ Phi _ { B } ( t ) &=\ int _ { \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t + \ mathrm { d } t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }-\ int _ { \ Sigma ( t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } \ \ &=\ int _ { \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } + \ int _ { \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) } { \ partial t } } \ mathrm { d } t \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }-\ int _ { \ Sigma ( t ) } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } \ \ &=\ int _ { \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) } { \ partial t } } \ mathrm { d } t \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } + \ int _ { \ Sigma _ { total } } \ mathbf { B } ( \ mathbf {r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }-\ int _ { \ Sigma _ { ribbon } } \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } \ \ \ end { aligned } } $；

其中，$ \ Sigma ( t ) $ 是邊仔為一下 $ \ partial \ Sigma ( t ) $ 的曲面，$ \ Sigma _ { total } $ 是包括 $ \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) $、$-\ Sigma ( t ) $ 和 $ \ Sigma _ { ribbon } $ 的閉曲面，$ \ Sigma _ { ribbon } $ 是邊仔 $ \ partial \ Sigma ( t + \ mathrm { d } t ) $ 和 $ \ partial \ Sigma ( t ) $ 形成的邊緣曲面。

根據散度定理佮高斯磁定律，

$ \ int _ { \ Sigma _ { total } } \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }=\ int _ { \ mathbb { V } _ { total } } \ nabla \ cdot \ mathbf { B } \ \ mathrm { d } r ^ { 三 }=零 $；

其中，$ \ mathbb { V } _ { total } $ 是閉曲面 $ \ Sigma _ { total } $ 包含的空間，$ \ mathrm { d } r ^ { 三 } $ 是微小體積的元素。

以線積分表示來表示穿過邊緣曲面 $ \ Sigma _ { ribbon } $ 的彼个磁通量：

$ \ int _ { \ Sigma _ { ribbon } } \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }=\ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } \ mathbf { B } \ cdot [\ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ times ( \ mathbf { v } \ mathrm { d } t )]=\ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } [( \ mathbf { v } \ mathrm { d } t ) \ times \ mathbf { B }] \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。

所以乎，磁通量對時間的全導數，抑是磁通量的變化率為

$ { \ frac { \ mathrm { d } \ Phi _ { B } ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ int _ { \ Sigma ( t ) } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) } { \ partial t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }-\ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } \ mathbf { v } \ times \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。

準講，佇咧較早速度 $ \ mathbf { v } $ 徙佇實驗室參考系的閉迴路 $ \ partial \ Sigma $ 內部，有一个電荷 $ q $ 以相對速度 $ \ mathbf { u } $ 運動於閉迴路 $ \ partial \ Sigma ( t ) $，是電荷以相對速度 $ \ mathbf { w } $ 運動佇實驗室參考系：

$ \ mathbf { w }=\ mathbf { u } + \ mathbf { v } $。

注意著 $ \ mathbf { u } \ times \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }=零 $，所以乎，

$ { \ frac { \ mathrm { d } \ Phi _ { B } ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ int _ { \ Sigma ( t ) } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) } { \ partial t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }-\ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } \ mathbf { w } \ times \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。

這電荷 $ q $ 會感受著勞侖茲力

$ \ mathbf { F } _ { Lorentz }=q ( \ mathbf { E } + \ mathbf { w } \ times \ mathbf { B } ) $。

電動勢 $ { \ mathcal { E } } $ 定義做

$ { \ mathcal { E } } \ { \ stackrel { def } {=} } \ \ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } { \ frac { \ mathbf { F } _ { Lorentz } } { q } } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }=\ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } ( \ mathbf { E } + \ mathbf { w } \ times \ mathbf { B } ) \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。

應用斯托克斯定理，

$ { \ mathcal { E } }=\ int _ { \ Sigma ( t ) } ( \ nabla \ times \ mathbf { E } ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } + \ int _ { \ partial \ Sigma ( t ) } ( \ mathbf { w } \ times \ mathbf { B } ) \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $。

對法拉第感應定律方程式積分形式，除去仝款的線積分項目，就動生電動勢的項目，令賰的感應電動勢項目相等，會用得著

$ \ int _ { \ Sigma ( t ) } ( \ nabla \ times \ mathbf { E } ) \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }=-\ int _ { \ Sigma ( t ) } { \ frac { \ partial \ mathbf { B } ( \ mathbf { r } , \ , t ) } { \ partial t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } $。

因為 $ \ Sigma ( t ) $ 是任意曲面，會當將被積式對積分中取出：

$ \ nabla \ times \ mathbf { E }=-{ \ frac { \ partial \ mathbf { B } } { \ partial t } } $。

這就是法拉第感應定律方程式微分形式，即馬克士威-法拉第一程式。反之，也會當對微分形式推導出積分形式。

無論磁場是無到含時的抑是含時的，無論閉迴路是拄硬固定的、是佇運動中、是佇咧形變過程當中，法拉第感應定律攏成立。猶毋過，對某一寡案例，法拉第感應定律並無適用抑是使用起來誠困難。這个時陣，著愛使用勞侖茲力定律。詳細節，請參閱法拉第感應定律無適用案例。

假使閉迴路移動佇無含時磁場 $ \ mathbf { B } $，穿過這个閉迴路的磁通量 $ \ Phi _ { B } $ 會因為幾種因素而改變：比如講，假若磁場 $ \ mathbf { B } $ 隨著位置來改變，閉迴路移動至無仝磁場 $ \ mathbf { B } $ 的位置喔，則磁通量 $ \ Phi _ { B } $ 會改變。抑是講，假若相對磁場，閉迴路的定向改變，因為微小元素 $ \ mathbf { B } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a } $ 的改變，磁通量 $ \ Phi _ { B } $ 原仔會改變嘛。閣舉一个例，假若閉思路掃掠過一个齊勻無含著磁場，因為閉迴路的形變，磁通量 $ \ Phi _ { B } $ 會改變。對這三个案例，法搝第感應定律會正確地計算出磁通量變化率 $ { \ frac { d \ Phi _ { B } } { \ mathrm { d } t } } $ 所產生的電動勢。

著比頭前咧講的狀況，假使固定的閉迴路處含時磁場 $ \ mathbf { B } $，馬克士威-法搝第一程式會顯示出一个非保守性的電場 $ \ mathbf { E } $ 產生於閉迴路，靠著勞侖茲力的 $ q \ mathbf { E } $ 項目，驅使帶電粒仔徙動佇閉迴路。這个狀況嘛會改變磁通量 $ \ Phi _ { B } $，法搝第感應定律會正確地計算出磁通量變化率 $ { \ frac { d \ Phi _ { B } } { \ mathrm { d } t } } $ 所產生的電動勢。

參閱

伽伐尼電池
伏拍電堆
法拉第弔詭
磁動勢

參考文獻