非等向性擴散

佇影像處理佮電腦視覺領域中，非等向性擴散（英語：Anistropic Diffusion）是一項用來減少影像雜訊但是袂影響著影像著較重要成分的技術，親像這邊界、線條抑是影像較明顯的細節。一般影像湠開處理是將原始影像佮二維高斯濾波器做管仔積，這款擴散處理是線性而且有空間不變性的轉換。毋是等向性擴散處理會根據影像產生區域性的濾波器，閣將原始影像佮產生的濾波器做管仔積，所以非等向性擴散是一種非線性而且無有空間不變性的轉換。

Perona 和 Malik 佇一九八七年提出無具有空間無變性的濾波器的時，其原始的概念是等向性擴散毋過會根據影像內容產生無仝的濾波器，這嘛使得佇咧倚邊界的區域其產生的濾波器會真類似狄拉克 δ 函數，予邊界及影像較重要的結構會當佇咧經過擴散處理了後會當閣保留落來。毋過當初 Perona 和 Malik 講號做非等向性擴散，就算其產生的區域性濾波器是具有等向性的，啊彼陣這款處理閣予人號做無齊勻湠開、非線性擴散佮 Perona-Malik 湠開。實際上的非等向性擴散是根據邊界佮結構的方向去產生非等向性的區域性濾波器，這種的方法閣予人號做 shape-adapted smoothing 抑是 coherence enhancing diffusion。其產生的影像會當同時進行平趨化並保留原本影像的結構，這款的方法所使用的擴散方程式通常是根據佇原始影像中的位置佮原始影像的像素值所產生。

雖然其結果是由原始影像佮區域性濾波器卷積所產生，但實際應用會按呢會需要大量的運算，所以就通常會用近像法來進行加速，也就是講每一張新的影像是由頂一張產生的影像套用非等向性擴散所產生。整體來講，非等向性擴散是一種疊代性的處理，其產生的結果會愈來愈平趨直到達到所需要的結果。

定義

$ \ Omega \ subset \ mathbb { R } ^ { 二 } $ 代表的是平面上的子集合，而且 $ I ( \ cdot , t ) : \ Omega \ rightarrow \ mathbb { R } $ 是一組灰階影像，是非等向性擴散會當定義做

$ { \ frac { \ partial I } { \ partial t } }=\ mathrm { div } \ left ( c ( x , y , t ) \ nabla I \ right )=\ nabla c \ cdot \ nabla I + c ( x , y , t ) \ Delta I $

$ \ Delta $ 代表的是拉普拉斯運算子，$ \ nabla $ 代表的是梯度運算子，$ \ mathrm { div } ( \ dots ) $ 是散度運算子，而且 $ c ( x , y , t ) $ 代表的是擴散係數 . $ c ( x , y , t ) $ 控制湠開的程度，而且通常是根據影像梯度所產生的方程式，所以會當保存原底的影像中的邊界。Pietro Perona 和 Jitendra Malik 佇一九九空年上早提出非等向性擴散的概念，而且提出兩種計算湠開的方程式：

$ c \ left ( \ | \ nabla I \ | \ right )=e ^ {-\ left ( \ | \ nabla I \ | / K \ right ) ^ { 二 } } $

和

$ c \ left ( \ | \ nabla I \ | \ right )={ \ frac { 一 } { 一 + \ left ( { \ frac { \ | \ nabla I \ | } { K } } \ right ) ^ { 二 } } } $

常數 K 控制方程式對邊界的敏感度，毋過其值通常是根據影像講中的噪音所產生，抑是根據實驗所產生。

動機

若是 $ M $ 代表的是平滑的影像，則上面的擴散方程式就會用予人轉換做用梯度下降法走揣方程式 $ E : M \ rightarrow \ mathbb { R } $ 的上細能量，而且 $ E : M \ rightarrow \ mathbb { R } $ 則定義做

$ E [I]={ \ frac { 一 } { 二 } } \ int _ { \ Omega } g \ left ( \ | \ nabla I ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ , dx $

其中 $ g : \ mathbb { R } \ rightarrow \ mathbb { R } $ 是一个實數函數，其代表的是擴散係數之間的關係。對於可微函數 $ h $

$ { \ begin { aligned } \ left . { \ frac { d } { dt } } \ right | _ { t=零 } E [I + th] &={ \ frac { d } { dt } } { \ big | } _ { t=零 } { \ frac { 一 } { 二 } } \ int _ { \ Omega } g \ left ( \ | \ nabla ( I + th ) ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ , dx \ \ &=\ int _ { \ Omega } g'\ left ( \ | \ nabla I ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ nabla I \ cdot \ nabla h \ , dx \ \ &=-\ int _ { \ Omega } \ mathrm { div } ( g'\ left ( \ | \ nabla I ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ nabla I ) h \ , dx \ end { aligned } } $

準講 $ \ nabla E _ { I } $ 代表 E 著 $ L ^ { 二 } ( \ Omega , \ mathbb { R } ) $ 內積的梯度，著

$ \ nabla E _ { I }=-\ mathrm { div } ( g'\ left ( \ | \ nabla I ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ nabla I ) $

所以，其梯度下降法的方程式會當表示成

$ { \ frac { \ partial I } { \ partial t } }=-\ nabla E _ { I }=\ mathrm { div } ( g'\ left ( \ | \ nabla I ( x ) \ | ^ { 二 } \ right ) \ nabla I ) $

阮假使講 $ c=g'$ 就會當得著非等向性的方程式矣。

正規化

修正了後的 Perona-Malik 模型，閣予人成做是正規化的 P-M 方程式，其未知部份佇非線性的部份佮高斯函數進行卷積，得著

$ { \ frac { \ partial I } { \ partial t } }=\ mathrm { div } \ left ( c ( | DG _ { \ sigma } * I | ) \ nabla I \ right ) $

其中 $ G _ { \ sigma }=C { \ sigma } ^ {-\ left ( 二分之一 \ right ) } exp \ left (-| x | ^ { 二 } / 四 { \ sigma } \ right ) $ .

正規化雖然會當增加其穩定性，毋過同時嘛會產生無糊效果，所以愛佇事前愛知影噪音的程度才會當決定正規化的所需要定定數。

應用

非等向性擴散會當用來減少數位影像的雜訊毋過袂霧其邊界。若佇咧固定的湠開數底，非等向性擴散方程式所減少的 heat equation 佮高斯模糊是仝款的，但是按呢會佇咧消除雜訊的時陣同時模糊這个邊界。若擴散係數是根據邊界偵測方程式來決定，像講 Perona Malik 模型來講，其結果會佇區域內底來進行湠開而且袂使其超過較強的邊界，所以佇咧移除雜訊了後，影像中的邊界和結構猶原會當保留落來。

除了移除雜訊以外，非等向性擴散嘛會當用佇邊界偵測。只要根據邊界偵測方程式來進行幾改遞迴的非等向性擴散，其尾仔結果影像會趨落去賰一个一个的色塊，若相鄰色塊之間的區域會予人偵測做邊界。

延伸閱讀

• 雙爿濾波器
• 邊仔檢測
• 熱傳導方程式
• 噪音

外部連結

• Mathematica PeronaMalikFilter function .
• IDL nonlinear anisotropic diffusion package ( edge enhancing and coherence enhancing ) : [一]