Abc猜想

abc 猜想（英語：_ abc _ conjecture）是一个未解決的數學猜想，上先由約瑟夫 ・ 奧斯特萊佮大衛 ・ 馬瑟佇一九八五年提出。abc 猜想以三个互質正整數 a , b , c 是咧講，c 是 a 佮 b 的佮，猜想因此號名。京都大學數理解析研究所望月新一教授佇二空一二年提出論文證明，經過八年仝行審查了後佇二空二空年四月發表，毋過對該證明的正確性猶有真大的爭議。對這也衍生出一 BOINC 項目「ABC @ Home」。

abc 猜想若著證乎，數論中足濟出名猜想會使立時會出。多利安 ・ 哥德費爾德稱 abc 猜想為「擲番圖分析中上重要的無解問題」。（Goldfeld 九百九十六）

內容

著正整數 _ n _，$ \ operatorname { rad } ( n ) $ 表示 $ n $ 的質因數的積，這號做 _ n _ 的根基（radical）。 比如講

rad ( 十六 )=rad ( 二十四 )=二 ,

rad ( 十七 )=十七 ,

rad ( 十八 )=rad ( 二 ⋅ 三十二 )=二·三=六 ,

rad ( 一百抹 )=rad ( 二十六 ⋅ 五十六 )=二 ⋅ 五=十 .

若正整數 _ a _ , _ b _ , _ c _ 互相落氣，而且 _ a _ + _ b _=_ c _，「 通常」會有 _ c _ < rad ( _ abc _ )，比如講：

$ a=二 $ , $ b=七 $ , $ c=九 $：$ \ operatorname { rad } ( abc )=四十二 > c $。

$ a=九 $ , $ b=十六 $ , $ c=二十五 $：$ \ operatorname { rad } ( abc )=三十 > c $。

但是嘛是有反例，比如講：

$ a=三 $ , $ b=一百二五 $ , $ c=一百二十八 $：因為乎 $ 一百二五=五 ^ { 三 } $，$ 一百二十八=二 ^ { 七 } $，故此 $ \ operatorname { rad } ( abc )=三十 < c $。

如果有加佇一个整數會當予小的質數的懸次冪整除，使 rad ( _ abc _ ) < _ c _，是較特殊的情況。ABC @ Home 計劃目的咧走揣閣較濟按呢的例。

abc 猜想（一）

對任何 $ \ varepsilon > 零 $，只有限個互質正整數的三元組 ( _ a _ , _ b _ , _ c _ )，_ c _=_ a _ + _ b _，予得

$ c > \ operatorname { rad } ( abc ) ^ { 一 + \ epsilon } $

abc 猜想也有用下等價的表述方式：

abc 猜想（二）

對任何 $ \ varepsilon > 零 $，存在常數 $ C _ { \ varepsilon } > 零 $，予互相對互質正整數的三元組 ( _ a _ , _ b _ , _ c _ )，_ c _=_ a _ + _ b _，有：

$ c < C _ { \ varepsilon } \ operatorname { rad } ( abc ) ^ { 一 + \ epsilon } , $

abc 猜想第三个表述方式，用著三元組 ( _ a _ , _ b _ , _ c _ ) 的品質（quality）， 定義做：

$ q ( a , b , c )={ \ frac { \ log ( c ) } { \ log ( \ operatorname { rad } ( abc ) ) } } $

比如講：

• _ q _ ( 四 , 一百二十七喔 , 一百三十一 )=log ( 一百三十一 ) / log ( rad ( 四·一百二十七喔·一百三十一 ) )=log ( 一百三十一 ) / log ( 二·一百二十七喔·一百三十一 )=空空四六八二空 . . .
• _ q _ ( 三 , 一百二五 , 一百二十八 )=log ( 一百二十八 ) / log ( rad ( 三·一百二五·一百二十八 ) )=log ( 一百二十八 ) / log ( 三十 )=一爿四二六五六五 . . .

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad ( _ abc _ ) > _ c _，所以 _ q _ ( _ a _ , _ b _ , _ c _ ) < 一。_ q _ 因為一个情形較少出現。

abc 猜想（三）

對任何 $ \ varepsilon > 零 $，只有限個互質正整數的三元組 ( _ a _ , _ b _ , _ c _ )，_ c _=_ a _ + _ b _，予得

$ q ( a , b , c ) > 一 + \ epsilon $

abc 猜想中的 ε 袂使去掉，抑無命題就毋成立。考慮以下的例：

$ a _ { n }=三 ^ { 二 ^ { n } } 影一 $ , $ b _ { n }=一 $ , $ c _ { n }=三 ^ { 二 ^ { n } } $

這三个正整數互質，而且有 $ a _ { n } + b _ { n }=c _ { n } $。注意著 $ a _ { n } $ 可被 $ 二 ^ { n + 二 } $ 整除，所以有

$ \ operatorname { rad } ( a _ { n } b _ { n } c _ { n } ) \ leq 三 \ cdot 二 \ cdot { \ frac { a _ { n } } { 二 ^ { n + 二 } } }={ \ frac { 三 a _ { n } } { 二 ^ { n + 一 } } } $ :

所以

$ c _ { n } > a _ { n } \ geq { \ frac { 二 ^ { n + 一 } } { 三 } } \ operatorname { rad } ( a _ { n } b _ { n } c _ { n } ) $

當 _ n _ 趨勢無限大時間，$ { \ frac { 二 ^ { n + 一 } } { 三 } } $ 嘛行向無限大。因此無存在常數 _ C _，予得 _ c _ < _ C _ rad ( _ abc _ ) 對所有適合條件的三元組攏成立。

會當出的結果

若是 abc 猜想會著證，遐爾有足濟結果會當推導出來。其中一寡結果，佇咧 abc 猜想欲提出了，已經用其他的方法得著證明，一寡則猶原為猜想。

• Thue–Siegel–Roth 定理
• 費馬大定理對所有有夠大指數的情形（安德魯 ・ 懷爾斯已經證一般的情形）（Granville 兩千空二）
• Mordell 猜想（格爾德 ・ 法爾廷斯已經證一般的情形）（Elkies 一千九百九十一）
• Erdős–Woods 猜想，除了有限濟的反例。（Langevin 一千九百九十三）
• 存在無限多非維費里希素數（Silverman 一千九百八十八）
• Marshall Hall 猜想的弱形式（Nitaj 九百九十六）
• 費馬－卡塔蘭猜想（Pomerance 兩千空八）
• 用勒予德符號構成的 L 函數 _ L _ ( _ s _ , _ χd _ ) 無咧 Siegel 零點（需要 abc 猜想佇代數域頂頭的一致形式，毋但是佇咧有理整數頂懸。）（Granville 兩千）
• 著有至少三个簡單零點的濟項式 _ P _ ( _ x _ )，咧整數 _ x _ 取的所有的值中，干焦有限這个次方數。
• Tijdeman 定理的推廣形式，關於著 _ ym _=_ xn _ + _ k _ 的文化的字（定理是 _ k _=一个情形）， 佮 Pillai 猜想，關於著 _ Aym _=_ Bxn _ + _ k _ 的文化的字。
• 等價於 Granville–Langevin 猜想
• 等於修改了後的 Szpiro 猜想（Oesterlé 一千九百八十八）
• Brocard 問題 _ n _ ! + _ A _=_ k _ 二，著任何予定的整數 _ A _，攏干焦有限一个解決。（Dąbrowski 九百九十六）

理論結果

abc 猜想導出 _ c _ 有 _ abc _ 的根基的接近線性函數的頂界；猶毋過，這馬已經知的是指數頂懸。確切結果若落去：

$ c < \ exp { \ left ( K _ { 一 } \ operatorname { rad } ( abc ) ^ { 十五 } \ right ) } $（Stewart & Tijdeman 一千九百八十六）,

$ c < \ exp { \ left ( K _ { 二 } \ operatorname { rad } ( abc ) ^ { { \ frac { 二 } { 三 } } + \ varepsilon } \ right ) } $（Stewart & Yu 一千九百九十一）,

$ c < \ exp { \ left ( K _ { 三 } \ operatorname { rad } ( abc ) ^ { { \ frac { 一 } { 三 } } + \ varepsilon } \ right ) } $（Stewart & Yu 兩千空一）.

咧講的頂頭中間，_ K _ 一是無依賴 _ a _ , _ b _ , _ c _ 的常數，而且 _ K _ 二和 _ K _ 三是（以這个會當有效計算的方式）依賴佇咧 ε 的常數，毋過無依賴佇咧 _ a _ , _ b _ , _ c _。欲講的頂懸嘿 _ c _ >   二的三元組攏成立。

計算結果

二空空六年，荷蘭的萊頓大學數學系和 Kennislink 科學研究所合作，開展 ABC @ Home 計畫。伊這个計畫是網格計算系統，目的咧揣出閣較濟的正整數三元組 _ a _ , _ b _ , _ c _ 予得 rad ( _ abc _ ) < _ c _。雖然有無限一个例抑是反例袂當解決 abc 猜想，但是向望藉著這个計畫發現的三元組的模式，會當會當出對這个猜想以至於數論的新的空見。

下述的 _ q _ 是上節定義的品質。

節甲二空一四年四月   ( 二千空一十四抹四 )，ABC @ Home 揣出兩千三百八十萬个三箍組，這馬目標咧揣出 c 無大過兩百六十三的所有三箍組 ( a , b , c )。

歷史

一九九六年，艾倫 ・ 貝克（Alan Baker）提出一个想欲較精確的猜想，將 $ \ operatorname { rad } ( abc ) $ 用 $ \ varepsilon ^ {-\ omega } \ operatorname { rad } ( abc ) $ 取代，在此 $ \ omega $ 是 $ a , b , c $ 的無仝質因數的數目。

二空空七年，呂西安 ・ 施皮羅試予出證明，後來去予人發現有錯誤。

二空一二年八月，日本京都大學數學家望月新一發表差不多五百頁的 abc 猜想的證明，以伊建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前當由其他數學專家檢查當中。當 Vesselin Dimitrov 佮阿克沙伊 ・ 文卡泰啥物佇二空一二年十月發現一位錯誤的時，望月新一佇伊的網站確定矣遮的錯誤，並且聲稱這个錯誤會當佇近期修補，袂影響上尾仔的結果。二空一二年十二月，望月新一佇家己煮頁貼出了家己對所有四篇文章的修改稿。主要包括二十七條重要的修改。二空一二年十二月-二空一三年二月，伊閣逐改對文章進行矣修訂，新修正十八位錯誤，當中足濟嘛是拍字錯誤。望月新一佇網路頂頭公開二空一三年以及二空一四年的檢驗進度報告。二空一八年八月，皮特 ・ 四序策和 Jakob Stix 指出，望月新一的證明論文中 Corollary 三一二證明結尾的一行推理存在無法度修復的缺陷。望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。

外部連結

• ABC @ home 分布式計算項目 ABC @ Home .
• Easy as ABC : Easy to follow , detailed explanation by Brian Hayes .
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . abc Conjecture . MathWorld .
• Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
• Bart de Smit's ABC Triples webpage
• http : / / www . math . columbia . edu / ~ goldfeld / ABC-Conjecture . pdf
• The amazing ABC conjecture
• The ABC's of Number Theory by Noam D . Elkies
• Questions about Number by Barry Mazur
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on MathOverflow
• ABC Conjecture Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers .