Delta位勢壘
佇咧量仔力學內，Delta 位勢壘是一个壘內位勢為狄拉克 Delta 函數，壘外位勢做零的位勢壘。Delta 位勢壘問題專門咧研討，佇這種位勢的作用中，一个徙動的粒仔的量子行為。咱想欲知影的是，佇咧予 Delta 位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數佮透射係數。佇真濟量子力學的教科書內底，這是一个捷看著的習題。
定義
一粒子獨立於時間的薛丁格方式為
- $-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } { \ frac { d ^ { 二 } \ psi ( x ) } { dx ^ { 二 } } } + V ( x ) \ psi ( x )=E \ psi ( x ) \ , \ ! $；
其中，$ \ hbar \ , \ ! $ 是約化普朗克常數，$ m \ , \ ! $ 是粒子質量，$ x \ , \ ! $ 是粒子位置，$ E \ , \ ! $ 是能量，$ \ psi ( x ) \ , \ ! $ 是波函數，$ V ( x ) \ , \ ! $ 是位勢，表達為
- $ V ( x )=\ lambda \ delta ( x ) \ , \ ! $；
其中，$ \ delta ( x ) \ , \ ! $ 是狄拉克 Delta 函數，$ \ lambda \ , \ ! $ 是狄拉克 Delta 函數的強度。
導引
這个勢壘將一維空間分做兩个區域：$ x < 零 \ , \ ! $ 佮 $ x > 零 \ , \ ! $。佇任何一个區域內，位勢為常數，薛丁格方程式的解答會當寫做往右佮往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：
- $ \ psi _ { L } ( x )=A _ { r } e ^ { ikx } + A _ { l } e ^ {-ikx } \ quad x < 零 \ , \ ! $，
- $ \ psi _ { R } ( x )=B _ { r } e ^ { ikx } + B _ { l } e ^ {-ikx } \ quad x > 零 \ , \ ! $；
其中，$ A _ { r } \ , \ ! $、$ A _ { l } \ , \ ! $、$ B _ { r } \ , \ ! $、$ B _ { l } \ , \ ! $ 攏是著愛佇邊界條件決定的常數，下標 $ r \ , \ ! $ 佮 $ l \ , \ ! $ 分別標記波函數往正抑是往倒爿的方向。$ k={ \ sqrt { 二 mE / \ hbar ^ { 二 } } } \ , \ ! $ 是波數。
因為 $ E > 零 \ , \ ! $，$ \ psi _ { L } \ , \ ! $ 佮 $ \ psi _ { R } \ , \ ! $ 攏是行進波。這兩个波著愛滿足佇咧 $ x=零 \ , \ ! $ 的邊界條件：
- $ \ psi _ { L }=\ psi _ { R } \ , \ ! $，
- $ { \ frac { d } { dx } } \ psi _ { L }={ \ frac { d } { dx } } \ psi _ { R }-{ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $。
特別注意第二个邊界條件方程式，波數隨位置的導數佇咧 $ x=零 \ , \ ! $ 並毋是連紲的，佇咧這个位勢壘兩爿的差額 $-{ \ frac { 二 \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $ 遮爾濟著。這方程式的推導著愛用著薛丁格方程式。共薛丁格的方式積分於 $ x=零 \ , \ ! $ 的一个非常細的鄰域：
- : $-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } { \ frac { d ^ { 二 } \ psi } { dx ^ { 二 } } } \ , dx + \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } V ( x ) \ psi \ , dx=E \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ psi \ , dx \ , \ ! $；( 一 )
其中，$ \ epsilon \ , \ ! $ 攏是一个非常細的數值。
方程式 ( 一 ) 正爿的能量項目是
- $ E \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ psi \ , dx \ approx E \ cdot 二 \ epsilon \ cdot \ psi ( 零 ) \ , \ ! $。( 二 )
佇咧 $ \ epsilon \ to 零 \ , \ ! $ 的極限，這項目對無去。
方程式 ( 一 ) 倒爿是
- $-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ left ( { \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { \ epsilon }-{ \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ {-\ epsilon } \ right ) + \ lambda \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ delta ( x ) \ psi \ , dx=零 \ , \ ! $ ( 三 )
根據狄拉克 Delta 函數的定義，
- $ \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ delta ( x ) \ psi \ , dx=\ psi _ { R } ( 零 ) \ , \ ! $。( 四 )
啊若佇咧 $ \ epsilon \ to 零 \ , \ ! $ 的極限，
- $ \ lim _ { \ epsilon \ to 零 } { \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ {-\ epsilon }={ \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ { 零 } \ , \ ! $，( 五 )
- $ \ lim _ { \ epsilon \ to 零 } { \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { \ epsilon }={ \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { 零 } \ , \ ! $。( 六 )
將遮的結果 ( 四 )，( 五 )，( 六 ) 代入方程式 ( 三 )，小可仔編排，來得著第二个邊界條件的方程式：佇咧 $ x=零 \ , \ ! $，
- $ { \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } }={ \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } }-{ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $。
對這兩个邊界條件的方程式。小加運算，來得著這个以下的路程式：
- $ A _ { r } + A _ { l }=B _ { r } + B _ { l } \ , \ ! $，
- $ ik ( A _ { r }-A _ { l }-B _ { r } + B _ { l } )=-{ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } ( B _ { r } + B _ { l } ) \ , \ ! $。
反射佮透射
因為能量是正值的，粒子會當自由的移動佇位勢壘外的兩个半空間，$ x < 零 \ , \ ! $ 抑是 $ x > 零 \ , \ ! $。可是，佇咧 Delta 位勢壘，粒仔會拄著散射狀況。設定粒仔對倒爿入射。佇咧 Delta 位勢壘，粒仔可能會去予人反射轉去，抑是會予透過。阮想欲知影講散射的反射係數佮透射係數。設定 $ A _ { r }=一 \ , \ ! $，$ A _ { l }=r \ , \ ! $，$ B _ { l }=零 \ , \ ! $，$ B _ { r }=t \ , \ ! $。求算反射的機率幅度 $ r \ , \ ! $ 佮透射的機率幅度 $ t \ , \ ! $：
- $ r={ \ cfrac { 一 } { { \ cfrac { i \ hbar ^ { 二 } k } { m \ lambda } } 影一 } } \ , \ ! $，
- $ t={ \ cfrac { 一 } { { \ cfrac { im \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } k } } + 一 } } \ , \ ! $。
反射係數是
- $ R=| r | ^ { 二 }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { \ hbar ^ { 四 } k ^ { 二 } } { m ^ { 二 } \ lambda ^ { 二 } } } } }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 二 \ hbar ^ { 二 } E } { m \ lambda ^ { 二 } } } } } \ , \ ! $。
透射係數是
- $ T=| t | ^ { 二 }=一-R={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { m ^ { 二 } \ lambda ^ { 二 } } { \ hbar ^ { 四 } k ^ { 二 } } } } }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { m \ lambda ^ { 二 } } { 二 \ hbar ^ { 二 } E } } } } \ , \ ! $。
這純粹是一个量仔力學的效應，號做量仔穿磅空應該；佇古典力學內底，透射緊數等於零，粒子無可能會透射過位勢壘。
- 因為模型的對稱性，假若，粒子對正爿入射，阮嘛會得著仝款的答案。
- 足奇巧的，予伊仝款的能量、質量、佮狄拉克 Delta 函數的強度，Delta 位勢壘佮 Delta 位勢阱有仝款的反射係數和透射係數。
參閱
- 自由粒子
- 無限深坑
- 有限深方形空
- 有限位勢壘
- 球對稱位勢
- Delta 位勢阱
- 量仔穿磅空應該