Delta位勢阱

佇咧量仔力學內，Delta 位勢阱是一个阱內底勢為負狄拉克 Delta 函數，阱外个勢做零的勢阱。Delta 位勢阱問題專門咧研討，佇這種位勢的作用中，一粒子的量子行為。這是一个捷看著的理論問題。假若，粒子的能量是當值的，咱想欲知影的是，佇咧予 Delta 位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數佮透射係數。假若，粒子的能量是負值的，這粒會予人束縛佇咧 Delta 予勢阱的阱內底。這陣，阮想欲知影的是粒仔的能量佮束縛的量態。

定義

一粒子獨立於時間的薛丁格方式為

$-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } { \ frac { d ^ { 二 } \ psi ( x ) } { dx ^ { 二 } } } + V ( x ) \ psi ( x )=E \ psi ( x ) \ , \ ! $；

其中，$ \ hbar \ , \ ! $ 是約化普朗克常數，$ m \ , \ ! $ 是粒子質量，$ x \ , \ ! $ 是粒子位置，$ E \ , \ ! $ 是能量，$ \ psi ( x ) \ , \ ! $ 是波函數，$ V ( x ) \ , \ ! $ 是位勢，表達為

$ V ( x )=-\ lambda \ delta ( x ) \ , \ ! $；

其中，$ \ delta ( x ) \ , \ ! $ 是狄拉克 Delta 函數，$ \ lambda \ , \ ! $ 是狄拉克 Delta 函數的強度。

導引

這个勢阱共一維空間分做兩个區域：$ x < 零 \ , \ ! $ 佮 $ x > 零 \ , \ ! $。佇任何一个區域內，位勢為常數，薛丁格方程式的解答會當寫做往右佮往左傳播的波函數的疊仔（參閱自由粒子）：

$ \ psi _ { L } ( x )=A _ { r } e ^ { ikx } + A _ { l } e ^ {-ikx } \ quad x < 零 \ , \ ! $，

$ \ psi _ { R } ( x )=B _ { r } e ^ { ikx } + B _ { l } e ^ {-ikx } \ quad x > 零 \ , \ ! $；

其中，$ A _ { r } \ , \ ! $、$ A _ { l } \ , \ ! $、$ B _ { r } \ , \ ! $、$ B _ { l } \ , \ ! $ 攏是著愛佇邊界條件決定的常數，下標 $ r \ , \ ! $ 佮 $ l \ , \ ! $ 分別標記波函數往正抑是往倒爿的方向。$ k={ \ sqrt { 二 mE / \ hbar ^ { 二 } } } \ , \ ! $ 是波數。

當 $ E > 零 \ , \ ! $ 時，$ \ psi _ { L } \ , \ ! $ 佮 $ \ psi _ { R } \ , \ ! $ 攏是行進波。可是，當 $ E < 零 \ , \ ! $ 時，$ \ psi _ { L } \ , \ ! $ 佮 $ \ psi _ { R } \ , \ ! $ 座標攏綴咧座標 $ x \ , \ ! $ 重指數遞減抑是指數遞增。

佇咧 $ x=零 \ , \ ! $ 處，邊界條件是：

$ \ psi _ { L }=\ psi _ { R } \ , \ ! $，

$ { \ frac { d } { dx } } \ psi _ { L }={ \ frac { d } { dx } } \ psi _ { R }-{ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $。

特別注意第二个邊界條件方程式，波數隨位置的導數佇咧 $ x=零 \ , \ ! $ 並毋是連紲的，佇咧位勢阱兩爿的差額有 $ { \ frac { 二 \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $ 遮爾濟著。這方程式的推導著愛用著薛丁格方程式。共薛丁格的方式積分於 $ x=零 \ , \ ! $ 的一个非常細的鄰域：

: $-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } { \ frac { d ^ { 二 } \ psi } { dx ^ { 二 } } } \ , dx + \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } V ( x ) \ psi \ , dx=E \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ psi \ , dx \ , \ ! $；( 一 )

其中，$ \ epsilon \ , \ ! $ 攏是一个非常細的數值。

方程式 ( 一 ) 正爿的能量項目是

$ E \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ psi \ , dx \ approx E \ cdot 二 \ epsilon \ cdot \ psi ( 零 ) \ , \ ! $。( 二 )

當 $ \ epsilon \ to 零 \ , \ ! $ 時，這項較趨勢就是無。

方程式 ( 一 ) 倒爿是

$-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } \ left ( { \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { \ epsilon }-{ \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ {-\ epsilon } \ right ) + \ lambda \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ delta ( x ) \ psi \ , dx=零 \ , \ ! $ ( 三 )

根據狄拉克 Delta 函數的定義，

$ \ int _ {-\ epsilon } ^ { \ epsilon } \ delta ( x ) \ psi \ , dx=\ psi _ { R } ( 零 ) \ , \ ! $。( 四 )

啊若佇咧 $ \ epsilon \ to 零 \ , \ ! $ 的極限，

$ \ lim _ { \ epsilon \ to 零 } { \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ {-\ epsilon }={ \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } } { \ bigg | } _ { 零 } \ , \ ! $，( 五 )

$ \ lim _ { \ epsilon \ to 零 } { \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { \ epsilon }={ \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } } { \ bigg | } _ { 零 } \ , \ ! $。( 六 )

將遮的結果 ( 四 )，( 五 )，( 六 ) 代入方程式 ( 三 )，整理了後，來得著第二个邊界條件的方程式：佇咧 $ x=零 \ , \ ! $，

$ { \ frac { d \ psi _ { L } } { dx } }={ \ frac { d \ psi _ { R } } { dx } }-{ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi _ { R } \ , \ ! $。

對這兩个邊界條件的方程式。小加運算，來得著這个以下的路程式：

$ A _ { r } + A _ { l }=B _ { r } + B _ { l } \ , \ ! $，

$ ik ( A _ { r }-A _ { l }-B _ { r } + B _ { l } )={ \ frac { 二 m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } ( B _ { r } + B _ { l } ) \ , \ ! $。

散射態

假若，能量是正值的，粒仔會當自由的徙佇咧佗勢阱外口的兩个半空間，$ x < 零 \ , \ ! $ 抑是 $ x > 零 \ , \ ! $。佇遮，粒子的量子行為主要是由 Delta 位勢阱造成的散射行為。講這粒子的量子態為散射態。設定粒仔對倒爿入射。佇咧 Delta 位勢阱，粒仔可能會去予人反射轉去，抑是會予透過。阮想欲知影講散射的反射係數佮透射係數。設定 $ A _ { r }=一 \ , \ ! $，$ A _ { l }=r \ , \ ! $，$ B _ { l }=零 \ , \ ! $，$ B _ { r }=t \ , \ ! $。求算反射的機率幅度 $ r \ , \ ! $ 佮透射的機率幅度 $ t \ , \ ! $：

$ r=-\ { \ cfrac { 一 } { { \ cfrac { i \ hbar ^ { 二 } k } { m \ lambda } } + 一 } } \ , \ ! $，

$ t={ \ cfrac { 一 } {-\ { \ cfrac { im \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } k } } + 一 } } \ , \ ! $。

反射係數是

$ R=| r | ^ { 二 }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { \ hbar ^ { 四 } k ^ { 二 } } { m ^ { 二 } \ lambda ^ { 二 } } } } }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 二 \ hbar ^ { 二 } E } { m \ lambda ^ { 二 } } } } } \ , \ ! $。

這純粹是一个量仔力學的效應；佇古典力學內底，這是無可能發生的。

透射係數是

$ T=| t | ^ { 二 }=一-R={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { m ^ { 二 } \ lambda ^ { 二 } } { \ hbar ^ { 四 } k ^ { 二 } } } } }={ \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { m \ lambda ^ { 二 } } { 二 \ hbar ^ { 二 } E } } } } \ , \ ! $。

• 因為模型的對稱性，假若，粒子對正爿入射，阮嘛會得著仝款的答案。
• 足奇巧的，予伊仝款的能量、質量、佮狄拉克 Delta 函數的強度，Delta 位勢壘佮 Delta 位勢阱有仝款的反射係數和透射係數。

束縛態

每一个一維的吸引位勢，攏至少會存在著一个束縛態（bound state）。 因為 $ E < 零 \ , \ ! $，波數變做複數。設定 $ \ kappa=-ik={ \ sqrt { 二 m | E | / \ hbar ^ { 二 } } } \ , \ ! $。前述的振盪的波函數 $ \ psi _ { L } \ , \ ! $ 佮 $ \ psi _ { R } \ , \ ! $，這馬煞綴座標 $ x \ , \ ! $ 重指數遞減抑是指數遞增。為著欲符合物理的真實性，咱要求波函數無欲發揮 $ x \ to \ pm \ infty \ , \ ! $。遐爾，$ A _ { r } \ , \ ! $ 佮 $ B _ { l } \ , \ ! $ 著愛予人設定做零。波函數變做

$ \ psi _ { L } ( x )=A _ { l } e ^ { \ kappa x } \ , \ ! $，

$ \ psi _ { R } ( x )=B _ { r } e ^ {-\ kappa x } \ , \ ! $。

對邊界條件佮歸一條件，會用得著

$ A _ { l }=B _ { r }={ \ sqrt { \ kappa } } \ , \ ! $，

$ \ kappa={ \ frac { m \ lambda } { \ hbar ^ { 二 } } } \ , \ ! $。

Delta 位勢阱干焦會當有一个束縛態。束縛態的能量是

$ E=-\ { \ frac { \ hbar ^ { 二 } \ kappa ^ { 二 } } { 二 m } }=-\ { \ frac { m \ lambda ^ { 二 } } { 二 \ hbar ^ { 二 } } } \ , \ ! $。

束縛態的波函數是

$ \ psi ( x )={ \ frac { \ sqrt { m \ lambda } } { \ hbar } } e ^ {-m \ lambda \ mid x \ mid / \ hbar ^ { 二 } } \ , \ ! $。

Delta 位勢阱是有限深方形阱的一个特別案例。佇咧有限深位勢阱的深度 $ V _ { 零 } \ to \ infty \ , \ ! $ 佮阱闊 $ L \ to 零 \ , \ ! $ 的極限，同時保持 $ V _ { 零 } L=\ lambda \ , \ ! $，就會當對有限深位勢阱的波函數，得著 Delta 位勢阱的波函數。

雙井迪拉克 Delta 函數模型

Delta 函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度的比例由達德利 ・ 赫施巴赫（「 Dudley R . Herschbach」）團隊所研發。此 delta 函數模型以雙井迪拉克 Delta 函數模型上有路用，因為代表一維版的水份子離子。

雙井迪拉克 Delta 函數模型是用以下薛丁格方程式來講：

$-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } { \ frac { d ^ { 二 } \ psi } { dx ^ { 二 } } } ( x ) + V ( x ) \ psi ( x )=E \ psi ( x ) $

電位現為：

$ V ( x )=-q \ left [\ delta ( x-{ \ frac { R } { 二 } } ) + \ lambda \ delta ( x + { \ frac { R } { 二 } } ) \ right] $

其中 $ 零 < R < \ infty $ 是「核間」因為迪拉克 Delta 函數（負）峰值位佇咧 $ x=\ pm { \ textstyle { \ frac { R } { 二 } } } $（圖表中棕色所示）。 會記得現模型佮三維分子版本的關係，阮用原子單位制而且設 $ \ hbar=m=一 $。此處 $ 零 < \ lambda < 一 $ 為一來做參數。對單井的例，會當推論擬設佇遮爾解為：

$ \ psi ( x ) ~=~ Ae ^ {-d \ left | x-{ \ frac { R } { 二 } } \ right | } + Be ^ {-d \ left | x + { \ frac { R } { 二 } } \ right | } $令波函數於 Delta 函數峰值相等會當行列式：

$ \ left | { \ begin { array } { cc } q-d & qe ^ {-dR } \ \ q \ lambda e ^ {-dR } & q \ lambda-d \ end { array } } \ right |=零 ~ , \ qquad E=-{ \ frac { d ^ { 二 } } { 二 } } ~ . $

所以，$ d $ 是由偽二改式方程式：

$ d _ { \ pm } ( \ lambda ) ~=~ { \ textstyle { \ frac { 一 } { 二 } } } q ( \ lambda + 一 ) \ pm { \ textstyle { \ frac { 一 } { 二 } } } \ left \ { q ^ { 二 } ( 一 + \ lambda ) ^ { 二 } 扳四 \ , \ lambda q ^ { 二 } \ lbrack 一-e ^ { 鋪二 d _ { \ pm } ( \ lambda ) R } ] \ right \ } ^ { 二分之一 } $

伊有兩解 $ d=d _ { \ pm } $。若等價情形（對稱單核）， $ \ lambda=一 $ 是偽二次式化做：

$ d _ { \ pm }=q [一 \ pm e ^ {-d _ { \ pm } R }] $

此「+」代表矣對稱中點的波函數（圖內底紅色）而且 $ A=B $ 講做偶態。接咧，「-」 做反對稱呼中點的波函數其 $ A=-B $ 講做是尪仔（圖中綠色）。 𪜶代表著三維 $ H _ { 二 } ^ { + } $ 的兩種上低能態之近像而且對分析來講。對稱電價的特徵會當分析解做：

$ d _ { \ pm }=q ~ + ~ W ( \ pm qRe ^ {-qR } ) / R $

其中 W 是標準朗伯仔 W 函數注意此最低會當對應對稱解 $ d _ { + } $。當非等電價，為著三維分子的問題，其實是一般化的 Lambert W 函數（見一般化朗伯 W 函數章節佮相關參考）。

參閱

• 自由粒子
• 無限深坑
• 有限深方形空
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta 位勢壘
• 量仔穿磅空應該