E進位

_ e _ 進位是以自然對數的底數—— e 作為進位制底數的進位。類似三進位，通常使用零、一、二三个數字來表達，毋過因為除了零、一佮二以外大部份的整數佇咧 e 進位中攏需要用無散的小數來表示，所以毋是一个實用的進位制，但是佇底數經濟度模型當中，e 進位予人認為是上懸效率的進位制。

性質

佇咧 e 進位當中，自然對數的行為佮十進制內底的常用對數類似，比如講：

$ \ ln 一 _ { \ left ( e \ right ) }=零 $

$ \ ln 十 _ { \ left ( e \ right ) }=一 $

$ \ ln 一百 _ { \ left ( e \ right ) }=二 $

$ \ ln 一千 _ { \ left ( e \ right ) }=三 $

e 進位效率

佇底數經濟度模型內底，e 進位予人認為是上懸效率的進位制。

做一个數用 $ x $ 進位（$ x > 零 , x \ in \ mathbb { R } $）表達的時陣，每一个位數攏需要 $ x $ 種符號表達，若欲去表達一个 n 位數字愛儉的元素 $ N ( x ) $：

$ N ( x )=nx $

而且 $ x $ 進制系統表示的 n 位數的資訊量 $ I $（$ I > x $）則有：

$ I=x ^ { n } \ Leftrightarrow n=\ log _ { x } I={ \ frac { \ ln I } { \ ln x } } $

所以，佇咧 $ x $ 進制系統內底以 n 位數能表示 I 的訊息量所需要的存儲元質數 $ N ( x ) $ 為：

$ N ( x )=nx=\ ln I \ cdot { \ frac { x } { \ ln x } } $

佇咧

$ { \ begin { cases } N ^ { \ prime } ( x ) < 零 & 零 < x < 一 \ \ N ^ { \ prime } ( x ) > 零 & x > 一 \ end { cases } } $

之下，求出佗一个 $ x $ 會當使 $ N ( x ) $ 上細漢就會使，就揣著這馬能使 $ N ( x ) $ 微分做零的 $ x $。

$ { \ begin { aligned } N ^ { \ prime } ( x ) &=\ ln I \ cdot \ left ( { \ frac { x } { \ ln x } } \ right ) ^ { \ prime } \ \ &=\ ln I \ cdot { \ frac { \ ln x 影一 } { \ left ( \ ln x \ right ) ^ { 二 } } } \ \ \ end { aligned } } $

佇咧 $ \ ln x=一 $ 時 $ N ^ { \ prime } ( x ) $ 有根 $ N ^ { \ prime } ( x )=零 $，

解甲 $ x=e $

就按呢解一下 $ e $ 為底的進位制理論上會當有上懸的表達效率。

佮其他進制較

e 進制內底，除了零、一佮二以外，其他整數攏需要以無散無循環小數來表達，其中整數的部份會當透過貪婪演算法揣出。

沒有理數 _ e _ 進位表示

捷看看無理數的 _ e _ 進位表示如下：

• $ \ color { blue } \ pi $ ≈ 十五一空一空空二空二空空空二一一一一…( _ e _ )（OEIS 數列 A 五孵空九百四十八）
• _ $ \ color { blue } e $ _=十 ( _ e _ )（佇遮的記數系統為整數）
• $ \ color { blue } { \ sqrt { 二 } } $ ≈ 一孵一空空二一一空一一空一一一二一一…( _ e _ )
• $ \ color { blue } \ varphi $=$ { \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } } $ ≈ 一孵一一二空二空一二一一一空空一空空…( _ e _ )（OEIS 數列 A 十二空五千一百六十六）

參見

• e ( 數學捷數 )
• 廣義的進位制
• 三進制