F-分布

佇機率論佮統計學內底，_ F _-分布（_ F _-distribution）是一種連續機率分布，被廣泛應用於概似比率檢定，特別是 ANOVA 中。

定義

隨機變數 _ X _ 有母數為 _ d _ 一和 _ d _ 二的 _ F _-分布，咱寫作 _ X _ ~ F ( _ d _ 一 , _ d _ 二 )。對伊實數 _ x _ ≥ 零，_ X _ 的機率密度函數 ( pdf ) 是

$ { \ begin { aligned } f ( x ; d _ { 一 } , d _ { 二 } ) &={ \ frac { \ sqrt { \ frac { ( d _ { 一 } \ , x ) ^ { d _ { 一 } } \ , \ , d _ { 二 } ^ { d _ { 二 } } } { ( d _ { 一 } \ , x + d _ { 二 } ) ^ { d _ { 一 } + d _ { 二 } } } } } { x \ , \ mathrm { B } \ ! \ left ( { \ frac { d _ { 一 } } { 二 } } , { \ frac { d _ { 二 } } { 二 } } \ right ) } } \ \ &={ \ frac { 一 } { \ mathrm { B } \ ! \ left ( { \ frac { d _ { 一 } } { 二 } } , { \ frac { d _ { 二 } } { 二 } } \ right ) } } \ left ( { \ frac { d _ { 一 } } { d _ { 二 } } } \ right ) ^ { \ frac { d _ { 一 } } { 二 } } x ^ { { \ frac { d _ { 一 } } { 二 } } 影一 } \ left ( 一 + { \ frac { d _ { 一 } } { d _ { 二 } } } \ , x \ right ) ^ {-{ \ frac { d _ { 一 } + d _ { 二 } } { 二 } } } \ end { aligned } } $

遮 $ \ mathrm { B } $ 是 B 函數。佇足濟應用中，母數 _ d _ 一和 _ d _ 二是正整數，對遮的母數為正實數的時也有定義。

累積分布函數為

$ F ( x ; d _ { 一 } , d _ { 二 } )=I _ { \ frac { d _ { 一 } x } { d _ { 一 } x + d _ { 二 } } } \ left ( { \ tfrac { d _ { 一 } } { 二 } } , { \ tfrac { d _ { 二 } } { 二 } } \ right ) , $

其中 _ I _ 是正則無完全貝塔函數。

正爿表格中已經予出期望值、變異數佮偏度；對於 $ d _ { 二 } > 八 $，峰度為：

$ \ gamma _ { 二 }=十二 { \ frac { d _ { 一 } ( 五 d _ { 二 } 鋪二十二 ) ( d _ { 一 } + d _ { 二 } 鋪二 ) + ( d _ { 二 } 扳四 ) ( d _ { 二 } 鋪二 ) ^ { 二 } } { d _ { 一 } ( d _ { 二 } ma六 ) ( d _ { 二 } ma八 ) ( d _ { 一 } + d _ { 二 } 鋪二 ) } } $ .

特徵

一个 _ F _-分布的隨機變數是兩个卡方分布變數除了自由度的比率：

$ { \ frac { U _ { 一 } / d _ { 一 } } { U _ { 二 } / d _ { 二 } } }={ \ frac { U _ { 一 } / U _ { 二 } } { d _ { 一 } / d _ { 二 } } } $

其中：

• _ U _ 一和 _ U _ 二呈卡方分佈，𪜶的自由度（degree of freedom）分別是 _ d _ 一和 _ d _ 二。
• _ U _ 一和 _ U _ 二是互相獨立的。

參見

• F 檢定