G-結構

佇咧微分幾何中，對一个予定的結構群 _ G _，_ n _ 維流形 _ M _ 頂一个_ G _-結構是 _ M _ 切標架仔欉 _ FM _（抑是 _ GL _ ( _ M _ )）的一个 _ G _-子欉。

_ G _-結構的概念包括了真濟流形頂懸其他結構，其中一寡是用張量場定義的。比如講，著正交群，一个 _ O _ ( _ n _ )-結構定義一个黎曼度量；毋過對特殊線的性群，一个 SL ( _ n _ ,R)-結構就是一个體積形式；著平凡群，一个 { _ e _ }-結構由流形的一个絕對平行化組成。

一寡流形頂懸的結構，比如講複結構，辛結構，抑是凱勒結構，攏是 _ G _-結構帶頂懸附加的可積性條件。

物理學中的術語是規範群。

主欉佮 _ G _-結構

就算講主欉理論佇咧 _ G _-結構的研究當中的角色足重要的，兩个概念是無仝的。一个 _ G _-結構伊是一个切標架欉的主子欉，猶毋過 _ G _-結構欉「由切標架組成」的事實被看做數據的一部份。比如講，考慮Rn 上兩个黎曼度量。伴隨的 SO ( _ n _ )-結構是仝構若而且唯若度量是仝構的。猶毋過，因為乎Rn 是會縮的，故下跤的 SO ( _ n _ )-樹做主欉總是仝構。

兩个理論的這个基本差別會當予佇 _ G _-結構下跤的 _ G _-樹頂懸加一个額外的數據：拋接形式（solder form）記錄。拋接形式是用一个對 _ M _ 的切欉到配向量密密的典範仝款構將 _ G _-結構下跤的 _ G _ 縖佇流形家己的局部幾何上。就算拋荒的形式毋是一个聯絡形式，定定會當看做是一个聯絡形式的前身。

詳細講來，準講 _ Q _ 是 _ G _-結構的主欉。若是 _ Q _ 是實現為 _ M _ 的切欉的壓縮，遐爾拋荒的形式是標架欉的重言形式是由包含影射的搝轉來予出。抽象地，若共 _ Q _ 當做佮伊成做一个標架仔欉實現獨立的一个主人欉，遐爾拍電龜的形式由 _ G _ 佇咧Rn 一个上的表示 ρ 猶閣有一个仝款形的 θ : _ TM _ → _ Q _ ×ρRn 組成。

可積性條件

流形頂頭袂少結構，比如講複結構，辛結構，抑是凱勒結構，攏是 _ G _-結構附加一个可積性的條件。無相應的可積性條件，遮的結構叫做一个「了（差不多）」結構，比如了複結構，了辛結構，抑是了凱勒流形。

特別地，一个辛流形結構是比一个辛群的 _ G _-結構閣較強的概念。流形頂懸一个辛結構是 _ M _ 頂一个非退化二形式 _ ω _（這是一个 $ Sp $-結構，抑了辛結構），猶閣有額外條件 d _ ω _=零；後者講是可積性條件。

類似地，葉狀結構對應該 _ G _-結構為分塊矩陣佮可積性條件，按呢便可利用淋羅貝尼烏斯定理。

_ G _-結構的同構

_ M _ 的保持 _ G _-結構的微分同胚集合稱做這結構的「自同構群」。著一个 _ O _ ( _ n _ )-結構𪜶就是黎曼度量的等距群，啊若一个 SL ( _ n _ ,R)-結構為著保持體積的映射。

設 _ P _ 是流形 _ M _ 頂一个 _ G _-結構，_ Q _ 是流形 _ N _ 頂一个 _ G _-結構。遐爾 _ G _-結構的仝構是一个微分同胚 _ f _ : _ M _ → _ N _，挵予線標架的前捒 _ f _ \ * : _ FM _ → _ FN _ 的限制予出矣 _ P _ 到 _ Q _ 的一个映射（注意只要 _ Q _ 佇咧 _ f _ \ * 的像中）。 _ G _-結構 _ P _ 佮 _ Q _ 是局部同構若是 _ M _ 有一个開集崁 _ U _ 和一族微分同胚 _ f _ U : _ U _ → _ f _ ( _ U _ ) ⊂ _ N _ 予得 _ f _ U 誘導一个同構 _ P _ | U → _ Q _ | f ( _ U _ )。

一个 _ G _-結構的自同構是 _ G _-結構 _ P _ 佮家己的同構。自同構定定咧研究幾何結構的變換群中出現，因為流形上真濟重要的幾何結構可實現為 _ G _-結構。

若是 _ G _-結構 _ P _ 有一个由會當交換向量場 ( _ V _ 一 , . . . , _ V _ n ) 組成的規个全體，愛講其實平坦_ G _-結構。若一个 _ G _-結構局部同構佇平平 _ G _-結構，則稱做可積的（抑是「局部平坦」）。

一類廣泛的等價問題會當用 _ G _-結構語言闡述。比如講，一對黎曼流形是（局部）等價數而且干焦做𪜶的正交標架欉是（局部）仝構的 _ G _-結構。佇這種看法下跤，解決一个等等的價問題一般過程是建立 _ G _-結構的一个無變量系統予得真確定一對 _ G _-結構敢有為局部等價。

_ G _-結構的聯絡

設 _ Q _ 是 _ M _ 頂一个 _ G _-結構。主欉 _ Q _ 頂頭的一个主聯絡唌導任何配向量叢的一个聯絡：特別是切欉。_ TM _ 以這種方式產生的線性聯絡 ∇ 講號做與 _ Q _相容。佮 _ Q _ 相容的聯絡嘛叫做容允的聯絡。

具體講來，容允聯絡會使用活動標架來理解。_ TM _ 一个局部分（即 _ M _ 的一个標架仔）定義矣 _ Q _ 的一个全面，準講 _ V _ i 是這个伊的一組基。任何聯絡 ∇ 決定一个取決於基的一个-形式 ω：

∇X Vi=ωij ( X ) Vj

遮，做為一-形式矩陣 ω ∈ Ω 一 ( M ) ⊗gl( _ n _ )。一个容允聯絡是 ω 佇咧 _ G _ 的李代數g上的一个取值。

_ G _-結構的撬率

任何 _ G _-結構伴隨有撬率，佮聯絡的撬率有關係。注意著一个予定的 _ G _-結構可能有真濟無仝款的容允聯絡，遮的聯絡可能有無仝的撬率。就算講按呢，咱猶是會當獨立地定義 _ G _-結構的撬率如下。

連一个容允聯絡的區別是一个 _ M _ 頂懸一个取佇伴隨欉 _ Ad _ Q 的一-形式。這便是講，容允聯絡的空間 _ A _ Q 是嘿 Ω 一 ( AdQ ) 的一个仿射空間。

容許聯絡的撬率定義矣影射

$ A ^ { Q } \ to \ Omega ^ { 二 } ( TM ) \ , $

映到係數為 _ TM _ 中的二-形式。這个映射是現行的；其線性化

$ \ tau : \ Omega ^ { 一 } ( \ mathrm { Ad } _ { Q } ) \ to \ Omega ^ { 二 } ( TM ) \ , $

這號做代數撬率映射。予定兩个容允聯絡 ∇ 佮 ∇′，𪜶的撬率張量 _ T _ ∇，_ T _ ∇′ 差一个 τ ( ∇−∇′ )。對而且 _ T _ ∇ 佇咧 coker ( τ ) 中的親像佮 ∇ 的選無關係。

對任何一个聯絡，_ T _ ∇ 佇咧 coker ( τ ) 中的像稱為 _ G _-結構的撬率。若一个 _ G _-結構的撬率做零，這號做無撬的。這拄仔好佇咧 _ Q _ 有一無撬通好聯絡的時陣發生。

例：了複結構的撬率

_ G _-結構的一个例是了複結構，這是共一个尪仔數維流形的結構群約化做 _ GL _ ( _ n _ ,C)。按呢的約化由一个 _ C _ ∞-線性自同態 _ J _ ∈ End ( _ TM _ ) 予得 _ J _ 二=− 一惟一確定。在此情形，撬率會當確實算出來：

簡單的維數計算說明

$ \ Omega ^ { 二 } ( TM )=\ Omega ^ { 二 , 零 } ( TM ) \ oplus \ mathrm { im } ( \ tau ) $ ,

遮 Ω 二 , 零 ( _ TM _ ) 是滿足

$ B ( JX , Y )=B ( X , JY )=-JB ( X , Y ) . \ , $

彼个形體 _ B _ ∈ Ω 二 ( _ TM _ ) 的空間。

對而且，一个了復結構的撬率會當看做 Ω 二 , 零 ( _ TM _ ) 中一个元素。容易驗證一个了復結構的張量等於伊的尼延烏斯的張量。

高階 _ G _-結構

一个特定的 _ G _-結構（比如講，辛形式）上的壯觀的可積性條件會當通過擴張程序處理。佇咧這个情形，擴張了後的 _ G _-結構袂當構和線的標架對的一个 _ G _-子欉等價。足濟情形下，擴張了後伊家己嘛是一个主欉，而且結構群會當等價於高階射流群的一个子群。現此時，伊嘛叫做一个高階 _ G _-結構（Kobayashi）。一般地，嘉當等價數法運用著這種情形。

參見

結構群的約化

注釋

參考資料

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