GCD環

GCD 環是一種有特殊性質的整環 _ R _，滿足其中任二个非零的元素攏有上大公因數（GCD）， 抑是等價數的，攏有上細公倍數（LCM）。

GCD 環是共唯一分解整環推廣到非諾特環的情形，事實上，一个整環是唯一分解整環若是而且惟若其為滿足主理想升鏈條件的 GCD 環。

性質

GCD 環中逐个袂使約元素攏是質元素（猶毋過 GCD 環中無一定愛有無可約元素，其至 GCD 環可能毋是咧一个域）。 GCD 環是整數封閉的，而且其中每一个非零的元素攏是素性的元素。嘛會使講，彼每一个 GCD 環攏是 Schreier 環。

針對 GCD 環 _ R _ 中的每一對元素 _ x _ 和 _ y _，其上大公因數 _ d _ 佮上細公倍數 _ m _ 會當選擇做使 _ dm _=_ xy _ 成立的數值，嘛會使講，若是 _ x _ 和 _ y _ 為非零元素，而且 _ d _ 是 _ x _ 的 _ y _ 的任何一个上大公因數，著 _ xy _ / _ d _ 為 _ x _ 和 _ y _ 的上細公倍數，反之亦然。

若是 _ R _ 是 GCD 環，其多項式環 _ R _ [_ X _ 一 , . . . , _ X _ n] 嘛是啦 GCD 環。

針對一个 GCD 環中的多項式 _ X _，會當定義其內容共所有的係數的上大公因數。因此多項式乘積的內容就為其多項式內容的乘積，親像高斯引理敘述的仝款。

舉例

• 唯一分解整環是 GCD 環，唯一分解整環是 GCD 環中拄好嘛是原子環（每一个非空非單位的元素，至少有一種分解做不可約元素乘積的方式）的部份。
• Bézout 環（每一个有限生的理想攏是主要理想的整理想）是 GCD 環。Bézout 環無仝款主要理想環（每一个理想攏是主要理想）， Bézout 環無一定愛是唯一分解整環，譬如講一个整函數的環是非原子性的 Bézout 環，嘛真濟其他的類似例。整環是 Prüfer 的 GCD 環境的充份必要條件是其為 Bézout 環
• 若是 _ R _ 是非原子性的 GCD 環，著 _ R _ [_ X _] 是 GCD 環中既然毋是唯一分解整環（因為非原子性）， 嘛毋是 Bézout 環（因為乎 _ X _ 和 _ R _ 一个袂使取倒數的非零元素 _ a _ 會當產生一个無包括一的理想，猶毋過一是 _ X _ 和 _ a _ 的上大公因數）的例。任何符合這个條件的環 _ R _ [_ X _ 一 , . . . , _ X _ n] 攏有類似性質。