Jacket矩陣

jiàn-bà 轉換 ( Jacket Transform )，由李文浩教授 ( 一千九百八十九 , 兩千 , 兩千空一 , IEEE Trans . CAS ) 提出。

其本身是沃爾啥-阿達瑪轉換 ( Walsh Hadamard Transform ) 的延伸，同時包括正常交參非常交兩種情形。

若透過簡單的矩陣來分解，會當發展 Jacket Transform 的快速演算法，規个 Jacket Transform 上主要的特色所以會當非常簡單來去共算出其反矩陣的元素，

而且這个此矩陣有非常特殊的結構，適合應用佇信號咧處理、編碼理論、建構空時編碼 ( Space Time Code ) 或者是快速演算法等等。

jiàn-bà 矩陣 ( Jacket Matrix )

佇咧數學上，一个 jiàn-bà 矩陣為一个 n 階的方陣 $ A=( a _ { ij } ) $，內部的元素為非零，實數或者是負數的有限值，同齊滿足下列式子

$ \ AB=BA=I _ { n } $

其中 _ I _ n 代表的是單位矩陣，而且 $ \ B={ 一 \ over n } ( a _ { ij } ^ { 影一 } ) ^ { T } $ 其中 T 代表的是轉置矩陣的意思。

嘛會使講，jiàn-bà 矩陣的反矩陣就是根據其元素或者是其分割的矩陣來決定，基本上反矩陣對其元素上欲閣改造轉好著。

根據以上的定義，規个式會當表達成如右圖所示。

而且規个 jiàn-bà 矩陣其實就是阿達馬矩陣 ( Hadamard matrix ) 的一般式，同時嘛是對角線 block-wise 反矩陣。

毋過為啥物咱會叫其實 jiàn-bà 矩陣呢？就親像橫直顛倒穿的 jiàn-bà 仝款，佇咧 jiàn-bà 矩陣內底，至少有兩个所在的元素會當予其他的無數共取代去， 透過轉製遮的元素會改變其位置。 以下提供一个例作為參考：

$ $ { \ boldsymbol { A } }={ \ begin { bmatrix } a & { \ sqrt { ac } } \ \ { \ sqrt { ac } } &-c \ end { bmatrix } } $ $

這个時陣咱會當共其元素做予倒轉來閣改就會使其反矩陣為 :

$ $ { \ boldsymbol { A } } ^ { 影一 }={ \ begin { bmatrix } { 一 \ over a } & { 一 \ over { \ sqrt { ac } } } \ \ { 一 \ over { \ sqrt { ac } } } & { 一 \ over-c } \ end { bmatrix } } $ $

會當發現此時的陣滿足一開始的定義，此為一个 jiàn-bà 矩陣，毋過咱若共 a=c=一予代入去，將會發現此時為一阿達馬的二 X 二矩陣。

jiàn-bà 矩陣本身就是阿達馬矩陣的一般式，阿達馬矩陣為 jiàn-bà 矩陣的特例。

中心加權阿達馬矩陣 ( Center Weighted Hadamard Transform WHT )

因為規个 Jacket matrix 基本上就是阿達馬矩陣以及中心加權阿達馬矩陣的一般式，佇遮咱先介紹啥物是中心加權阿達馬矩陣，

基本上佮阿達馬矩陣相仝，其實需要實數的運算，佮阿達馬矩陣比起來，其閣較注重信號的中頻空間頻率，

基本上透過中心加權阿達馬矩陣的分解咱會當發展出一个 WHT 的快速演算法。

啊若矩陣的分解主要是透過克羅內客基 ( Kronecker product ) 相乘基本的中心加權阿達馬矩陣以及其前一个階級的中心加權阿達馬矩陣。

上低階的中心加權阿達馬矩陣為一个四 \ * 四方的形矩陣，其定義如下 :

$ [WH] _ { 四 }=\ left [{ \ begin { array } { rrrr } 一 & 一 & 一 & 一 \ \ 一 &-w & w & 影一 \ \ 一 & w &-w & 影一 \ \ 一 & 影一 & 影一 & 一 \ \ \ end { array } } \ right] $

按呢顛倒反矩陣想欲落所式：

$ [WH] _ { 四 } ^ { 影一 }=\ left [{ \ begin { array } { rrrr } 一 & 一 & 一 & 一 \ \ [ 六 pt] 一 & { 影一 \ over w } & { 一 \ over w } & 影一 \ \ [六 pt] 一 & { 一 \ over w } & { 影一 \ over w } & 影一 \ \ [六 pt] 一 & 影一 & 影一 & 一 \ \ [六 pt] \ end { array } } \ right ] $

當 w=一的時陣，現此時為一个阿達馬矩陣，若準講做 w=二代入的時陣，其為一个中心加權阿達馬矩陣。

啊若想欲去計算閣較高階的中心加權阿達馬矩陣的話，透過阿達馬矩陣的幫助，阮會當用一个遞迴的方式來得著答案，如下式所表示 :

$ [WH] _ { N }=[WH] _ { N \ over 二 } X [H] _ { 二 } $

抑若遮的相乘 X 代表的是克羅內克積 ( Kronecker product )，而且 [H] 二代表的是上低坎的阿達馬矩陣

$ $ { \ boldsymbol { H _ { 二 } } }={ \ begin { bmatrix } 一 & 一 \ \ 一 & 影一 \ end { bmatrix } } $ $

譬如講當阮想欲去計算 [WH] 八則會使如落去算會得 :

$ [WH] _ { 八 }=[WH] _ { 四 } X [H] _ { 二 } $

$=\ left [{ \ begin { array } { rrrr } 一 & 一 & 一 & 一 \ \ 一 & 鋪二 & 二 & 影一 \ \ 一 & 二 & 鋪二 & 影一 \ \ 一 & 影一 & 影一 & 一 \ \ \ end { array } } \ right] X { \ boldsymbol { \ begin { bmatrix } 一 & 一 \ \ 一 & 影一 \ end { bmatrix } } } $

$=\ left [{ \ begin { array } { rrrrrrrr } 一 & 一 & 一 & 一 & 一 & 一 & 一 & 一 \ \ 一 & 影一 & 一 & 影一 & 一 & 影一 & 一 & 影一 \ \ 一 & 一 & 鋪二 & 鋪二 & 二 & 二 & 影一 & 影一 \ \ 一 & 影一 & 鋪二 & 二 & 二 & 鋪二 & 影一 & 一 \ \ 一 & 一 & 二 & 二 & 鋪二 & 鋪二 & 影一 & 影一 \ \ 一 & 影一 & 二 & 鋪二 & 鋪二 & 二 & 影一 & 影一 \ \ 一 & 一 & 影一 & 影一 & 影一 & 影一 & 一 & 一 \ \ 一 & 影一 & 影一 & 一 & 影一 & 一 & 一 & 影一 \ \ \ end { array } } \ right] $

根據以上咱會當發現講，中心加權阿達馬矩陣佮其反矩陣拄好滿足 jiàn-bà 矩陣的定義，所以任何的中心加權阿達馬矩陣攏是 jiàn-bà 矩陣的一種。

中心加權阿達馬矩陣的另外一个快速演算法

為著欲去使用這个快速演算法，首先咱先定義一个加權係數矩陣 [RC] N 為下式的 :

$ [RC] _ { N }=[H] _ { N } [WH] _ { N } $

而且規个 [RC] N 本身為一个疏疏矩陣，根據下式咱會當發現 [RC] N 會當低坎的 [RC] ( N / 二 ) 來表示 :

$ [RC] _ { N }=( [H] _ { N \ over 二 } X [H] _ { 二 } ) ( [WH] _ { N \ over 二 } X [H] _ { 二 } ) $

` ` ` $=( [H] _ { N \ over 二 } [WH] _ { N \ over 二 } ) X ( [H] _ { 二 } [H] _ { 二 } ) $

$=[RC] _ { N \ over 二 } X 二 [I] _ { 二 } $ ` ` `

這爿的 X 同理代表的為克羅內克基 ( Kronecker product )，而且 [I] 二代表的為二 X 二的單位矩陣。 根據阿達馬矩陣的特性

$ [H] _ { N } ^ { 影一 }={ 一 \ over N } [H] _ { N } $

咱會當共中心加權阿達馬矩陣表示如下：

$ [WH] _ { N }={ 一 \ over N } [H] _ { N } [RC] _ { N } $

$ [WH] _ { N } ^ { 影一 }=N [H] _ { N } ^ { 影一 } [RC] _ { N } ^ { 影一 } $

故仝款以 N=八為例，咧算 [WH] 八時愛會當下表示 :

$ [WH] _ { 八 }={ 一 \ over 八 } [H] _ { 八 } [RC] _ { 八 } $

` ` ` $=( { 一 \ over 八 } [H] _ { 四 } X [H] _ { 二 } ) ( [RC] _ { 四 } X 二 [I] _ { 二 } ) $ ` ` `

` ` ` $={ 一 \ over 八 } ( [H] _ { 四 } [RC] _ { 四 } ) X 二 [H] _ { 二 } ) $ ` ` `

所以咱會當借著低級數的阿達馬矩陣佮中心加權阿達馬矩陣來快速地計算高階的阿達馬矩陣。

jiàn-bà 矩陣的特性

一 . 任意一个 jiàn-bà 矩陣定著做對稱矩陣，即轉置了後的結果佮轉置前相等。

二 . 著任意一个整數 n 來講，定存在一个級數 n 的 jiàn-bà 矩陣。

三 . 若是 A 矩陣為一个複數的阿達馬矩陣，其他的必定做一个 jiàn-bà 矩陣。

四 . 若一个矩陣 A 為一 jiàn-bà 矩陣，同時其內部元素 Aij 的絕對值攏為一，則這矩陣嘛是一个複數的阿達馬矩陣。

若內底的元素 Aij 為實數，而且任一元素平方的值攏為一，則這矩陣嘛是一个阿達馬矩陣。

五 . 若是 A 為一个 jiàn-bà 矩陣，是其實共厄矩陣 A \ * 其他的轉置矩陣 AT 其反矩陣 A 擗一嘛攏會是 jiàn-bà 矩陣。

六 . 若是 A 為一个 jiàn-bà 矩陣，而且 D 佮 E 為咱角方陣，著 DAE 嘛會是一个 jiàn-bà 矩陣。

低層 jiàn-bà 矩陣的一般式

著任意一个級數為二的 jiàn-bà 矩陣，其型式必定做下底所示之矩陣 :

$ $ { \ boldsymbol { J _ { 二 } } }={ \ begin { bmatrix } 一 & 一 \ \ 一 & 影一 \ end { bmatrix } } $ $

著任意一个級數為三的 jiàn-bà 矩陣，其實型式為下底所示之矩陣 :

$ [J] _ { 三 }=\ left [{ \ begin { array } { rrr } 一 & 一 & 一 \ \ 一 & w & w ^ { 二 } \ \ 一 & w ^ { 二 } & w \ \ \ end { array } } \ right] $

著任意一个級數為四 jiàn-bà 矩陣，其型式必定做下底所示之矩陣 :

$ [J] _ { 四 }=\ left [{ \ begin { array } { rrrr } 一 & 一 & 一 & 一 \ \ 一 &-w & w & 影一 \ \ 一 & w &-w & 影一 \ \ 一 & 影一 & 影一 & 一 \ \ \ end { array } } \ right] $

參考資料

Moon Ho Lee , The Center Weighted Hadamard Transform , IEEE Transactions on Circuits Syst . Vol . 三十六 , No . 九 , PP . 一千兩百四十七–一千兩百四十九 , Sept . 一千九百八十九 .

K . J . Horadam , Hadamard Matrices and Their Applications , Princeton University Press , UK , Chapter 四配五 . 一 : The jacket matrix construction , PP . 八十五–九十一矣 , 兩千空七 .

Moon Ho Lee , Jacket Matrices : Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing , LAP LAMBERT Publishing , Germany , Nov . 二千空一十二

Moon Ho Lee , On Jacket Matrices Based on Weighted Hadamard Matrices . JKEES 二千空七孵一孵四

外部資料

• Technical report : Linear-fractional Function , Elliptic Curves , and Parameterized Jacket Matrices
• Jacket Matrix and Its Fast Algorithms for Cooperative Wireless Signal Processing
• Jacket Matrices : Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing
• On Jacket Matrices Based on Weighted Hadamard Matrices