K·p微擾論
K ・ p 微擾論閣名K ・ p 微擾法，是固體物理當中用來計算固體會當帶結構佮光學性質的一種微擾方法，因為微擾哈密頓算符中出現了當比簡約波向量（k）佮動量算符合（p）內積的項才有名。這个方法會當近若親像估計半導體中的電子佇導帶底的有效質量。
背景
佇晶體當中，勢場有週期性，若予其中電子的波函數加以週期性邊界條件，則波函數將具有布洛赫波的形式：
- $ \ psi _ { n , \ mathbf { k } }=e ^ { i \ mathbf { k } \ mathbf { r } } u _ { n , \ mathbf { k } } $
其中 $ \ mathbf { k } $ 是簡單波向量，$ u _ { n , \ mathbf { k } } $ 就是週期函數，而且禮拜佮晶格的禮拜完全仝款。
欲表達式代入定態薛丁格的方程式，可得 $ u _ { n , \ mathbf { k } } $ 滿足的方程式。這个方程式的形式上類似定態薛丁格的方式：
- $ H _ { \ mathbf { k } } u _ { n , \ mathbf { k } }=E _ { n , \ mathbf { k } } u _ { n , \ mathbf { k } } $
其實「哈密頓算符」為：$ H _ { \ mathbf { k } }={ \ frac { p ^ { 二 } } { 二 m } } + { \ frac { \ hbar \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { p } } { m } } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } k ^ { 二 } } { 二 m } } + V $
微擾方法
K ・ p 微擾論適用佇簡約波向量 $ \ mathbf { k } $ 較細的情形下。這个時陣會當共「哈密頓算符」內底無含有簡單波向量 $ \ mathbf { k } $ 的項目為無微擾的「哈密頓算符」，共含有簡單波向量 $ \ mathbf { k } $ 的項目為「微擾哈密頓算符」，即：
- $ H _ { \ mathbf { k } }=H _ { 零 } + H _ { \ mathbf { k } }', \ ; \ ; H _ { 零 }={ \ frac { p ^ { 二 } } { 二 m } } + V , \ ; \ ; H _ { \ mathbf { k } }'={ \ frac { \ hbar ^ { 二 } k ^ { 二 } } { 二 m } } + { \ frac { \ hbar \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { p } } { m } } $
利用微擾方法會當用所有的 $ u _ { n , \ mathbf { 零 } } $ 的線性組合表達某一个會帶的 $ u _ { n , \ mathbf { k } } $，進一步會當予出能量 $ E _ { n , \ mathbf { k } } $ 佮簡約波向量 $ \ mathbf { k } $ 彼近似關係。若是 $ u _ { n , \ mathbf { 零 } } $ 是無簡單的，考慮著一級修正了後 $ u _ { n , \ mathbf { k } } $ 的表達式為著：
- $ u _ { n , \ mathbf { k } }=u _ { n , 零 } + { \ frac { \ hbar } { m } } \ sum _ { n'\ neq n } { \ frac { \ langle u _ { n , 零 } | \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { p } | u _ { n', 零 } \ rangle } { E _ { n , 零 }-E _ { n', 零 } } } u _ { n', 零 } $
考慮二級修正了後能量的表達式為：
- $ E _ { n , \ mathbf { k } }=E _ { n , 零 } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } k ^ { 二 } } { 二 m } } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { m ^ { 二 } } } \ sum _ { n'\ neq n } { \ frac { | \ langle u _ { n , 零 } | \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { p } | u _ { n', 零 } \ rangle | ^ { 二 } } { E _ { n , 零 }-E _ { n', 零 } } }=E _ { n , 零 } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } k ^ { 二 } } { 二 m } } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { m ^ { 二 } } } \ sum _ { n'\ neq n } \ sum _ { i , j } { \ frac { | \ langle u _ { n , 零 } | p _ { i } | u _ { n', 零 } \ rangle | | \ langle u _ { n , 零 } | p _ { j } | u _ { n', 零 } \ rangle | } { E _ { n , 零 }-E _ { n', 零 } } } k _ { i } k _ { j } $
電子的倒有效質量張量近來若像：
- $ ( { \ frac { 一 } { m ^ { \ star } } } ) _ { ij }={ \ frac { 一 } { m } } \ delta _ { ij } + { \ frac { 二 } { m ^ { 二 } } } \ sum _ { n'\ neq n } { \ frac { | \ langle u _ { n , 零 } | p _ { i } | u _ { n', 零 } \ rangle | | \ langle u _ { n , 零 } | p _ { j } | u _ { n', 零 } \ rangle | } { E _ { n , 零 }-E _ { n', 零 } } } $
應用
佇直接紮縫半導體中，導帶下底的電子對應的簡約波向量做零，伊的有效質量會當運用 K ・ p 微擾論近若像計算。微擾論中最近鄰態的微擾貢獻最大。導帶底佮價帶頂頭的態互為最近鄰態，干焦考慮彼此微擾貢獻，K ・ p 微擾論的結果會當進一步簡化為：
- $ ( { \ frac { 一 } { m ^ { \ star } } } ) _ { ij }={ \ frac { 一 } { m } } \ delta _ { ij } + { \ frac { 二 } { m ^ { 二 } } } { \ frac { | \ langle u _ { v , 零 } | p _ { i } | u _ { c , 零 } \ rangle | | \ langle u _ { c , 零 } | p _ { j } | u _ { v , 零 } \ rangle | } { E _ { g } } } $
式當中 $ E _ { g } $ 做導帶底佮價帶頂的能量差，即帶隙；跤標 v 和 c 分別指代價帶頂佮導帶底的態。所考慮的導帶底是轉踅對稱的，煞有效質量張量會當用一个純量代替：
- $ { \ frac { 一 } { m ^ { \ star } } }={ \ frac { 一 } { m } } + { \ frac { 二 } { m ^ { 二 } } } \ sum _ { i } { \ frac { | \ langle u _ { v , 零 } | p _ { i } | u _ { c , 零 } \ rangle | ^ { 二 } } { E _ { g } } } $
表明半導體的帶縫愈細，導帶底電子有效質量嘛愈細。對通常的半導體來講，導帶底電子的有效質量對電子的湖湖湖，而且矩陣元佮電子真實質量的比值近若親像為一个常量十 eV。故：
- $ { m ^ { \ star } } / m=E _ { g } / 二十 ev $
該公式給出的導帶底電子有效質量近若像值佮絕大多數 IV 族、III-V 族、II-VI 族直接娶隙半導體實測值的誤差佇咧百分之十五以內。
推廣
若考慮自旋-軌道作用，猶原會當用類似方法來處理。現此時「哈密頓算符」應寫為：
- $ H _ { \ mathbf { k } }={ \ frac { p ^ { 二 } } { 二 m } } + { \ frac { \ hbar } { m } } \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { p } + { \ frac { \ hbar ^ { 二 } k ^ { 二 } } { 二 m } } + V + { \ frac { \ hbar } { 四 m ^ { 二 } c ^ { 二 } } } ( \ nabla V \ times ( \ mathbf { p } + \ hbar \ mathbf { k } ) ) \ cdot { \ vec { \ sigma } } $
若是 $ u _ { n , \ mathbf { 零 } } $ 有簡併，需要使用簡併微擾理論。Luttinger–Kohn 模型會當處理這類問題。
參見
- 布洛赫定理