K函數

K 函數是 hyper 階乘函數佇咧複數上的擴展，如同 Γ 函數是階乘函數咧複數上的擴展。 K 函數的定義做：

$ K ( z )=( 二 \ pi ) ^ { (-z 影一 ) / 二 } \ exp \ left [{ \ begin { pmatrix } z \ \ 二 \ end { pmatrix } } + \ int _ { 零 } ^ { z 影一 } \ ln ( t ! ) \ , dt \ right] . $

閣會當寫講閉合的形式：

$ K ( z )=\ exp \ left [\ zeta ^ { \ prime } ( 影一 , z )-\ zeta ^ { \ prime } ( 影一 ) \ right] . $

其中，$ \ zeta ^ { \ prime } ( z ) $ 表示黎曼 ζ 函數的導函數，而且 $ \ zeta ^ { \ prime } ( a , z ) $ 表示赫爾維茨 ζ 函數的導函數，即

$ \ zeta ^ { \ prime } ( a , z ) \ { \ stackrel { \ mathrm { def } } {=} } \ \ left [{ \ frac { d \ zeta ( s , z ) } { ds } } \ right] _ { s=a } . $

另外一種使用濟伽瑪數的表示形式是：

$ K ( z )=\ exp \ left ( \ psi ^ { ( 鋪二 ) } ( z ) + { \ frac { z ^ { 二 }-z } { 二 } }-{ \ frac { z } { 二 } } \ ln ( 二 \ pi ) \ right ) . $

抑是使用廣義多伽瑪數表示為：

$ K ( z )=Ae ^ { \ psi ( 鋪二 , z ) + { \ frac { z ^ { 二 }-z } { 二 } } } . $

其中 A 表示格萊舍常數（Glaisher constant）。

K 函數佮 Γ 函數佮巴尼斯 G 函數關係密切。這對自然數 n，阮有：

$ K ( n )={ \ frac { ( \ Gamma ( n ) ) ^ { n 影一 } } { G ( n ) } } . $

會當閣較簡單來寫為：

$ K ( n + 一 )=一 ^ { 一 } \ , 二 ^ { 二 } \ , 三 ^ { 三 } \ cdots n ^ { n } . $

前幾項為：一、四、一百空八、二爿七千六百四十八、八千六百四十二分、四四抹空三百一十五空七千八百四十五、3319766398771200000…… ( OEIS 中的第 A 兩千一百空九號數列 ) .

參考

外部連結

埃里克・韋斯坦因為 . K-Function . MathWorld .

相關條目

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