K類函數

$ { \ mathcal { K } } $ 類函數（Class kappa function）嘛叫做是佇咧控制理論內判斷毋是自治系統（nonautonomous system）敢是穩定會用著的一類函數，會將這其他的函數和 $ { \ mathcal { K } } $ 類函數較，以確認系統的穩定性。

連續函數 $ \ alpha : [ 零 , a ) \ rightarrow [ 零 , \ infty ) $ 如果滿足以下的條件，是屬於 $ { \ mathcal { K } } $ 類函數：

• 函數嚴格遞增。
• 函數滿足 $ \ alpha ( 零 )=零 $。

連續函數 $ \ alpha : [ 零 , a ) \ rightarrow [ 零 , \ infty ) $ 如果滿足以下的條件，是屬於$ { \ mathcal { K } } _ { \ infty } $ 類函數：

• 函數屬於 $ { \ mathcal { K } } $ 類函數。
• 函數的定義域範圍會當到無限大，$ a=\ infty $ .
• 函數滿足 $ \ lim _ { r \ rightarrow \ infty } \ alpha ( r )=\ infty $ .

若一非遞減的正定函數 $ \ beta $ 滿足所有的 $ { \ mathcal { K } } $ 類（抑是 $ { \ mathcal { K } } _ { \ infty } $ 類）函數的條件，干焦嚴格遞增條件不滿足，會當用下跤的方式予這个函數的頂下界用 $ { \ mathcal { K } } $ 類（抑是 $ { \ mathcal { K } } _ { \ infty } $ 類）函數來表示：

$ \ beta ( x ) { \ frac { x } { x + 一 } } < \ beta ( x ) < \ beta ( x ) \ left ( { \ frac { x } { x + 一 } } + 一 \ right )=\ beta ( x ) { \ frac { 二 x + 一 } { x + 一 } } , \ qquad x \ in ( 零 , a ) . \ , $

$ { \ mathcal { KL } } $ 類函數

連續函數 $ \ beta : [ 零 , a ) \ times [ 零 , \ infty ) \ rightarrow [ 零 , \ infty ) $ 如果滿足以下的條件，是屬於$ { \ mathcal { KL } } $ 類函數：

• 對每一个固定的 $ s $，函數 $ \ beta ( r , s ) $ 屬於 $ { \ mathcal { K } } $ 類函數
• 對每一个固定的 $ r $，函數 $ \ beta ( r , s ) $ 會隨著 $ s $ 遞減，而且當 $ s \ rightarrow \ infty $ 時，$ \ beta ( r , s ) \ rightarrow 零 $。

參考資料

• H . K . Khalil , Nonlinear systems , Prentice-Hall 兩千空一 . Sec . 四四-Def . 四配二 .