KdV四角勢

科特韋赫-德吹里斯方程（英語：Korteweg-De Vries equation）， 一般簡稱KdV 四角勢，是一八九五年由荷蘭數學家科特韋赫和德學里斯共同發現的一種偏微分方程。關於著實自變量 _ x _ 和 _ t _ 的函數 φ 所滿足的 KdV 四角勢形體是啥物：

$ \ partial _ { t } \ phi ma六 \ phi \ partial _ { x } \ phi + \ partial _ { x } ^ { 三 } \ phi=零 $

KdV 咧行解做一个圍徛的孤立子（閣稱孤子，孤波）。

KdV 方程的波解

KdV 方程有偌種孤波解。

• 鐘形孤波解

$ \ phi ( x , t )={ \ frac { 一 } { 二 } } \ , c \ , \ mathrm { sech } ^ { 二 } \ left [{ { \ sqrt { c } } \ over 二 } ( x-c \ , t-a ) \ right] $

• 扭形孤波解

$ \ phi ( x , t )=k \ , \ mathrm { tanh } [k ( x + 二 tk ^ { 二 } + c )] $

• 暗孤波解

$ $ \ phi ( x , t )=a + b \ , \ mathrm { tanh } ( 一 + cx + dt ) ^ { 二 } $ $

• * *

tanh 法解

利用 Maple tanh 法會當孤立子解：。

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 二 ^ { 三 }-_ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * csc ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 二 ^ { 三 }-_ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * sec ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 二 ^ { 三 } + _ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * csch ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } $

$ { u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 二 ^ { 三 } + _ { C } 三 ) / _ { C } 二 + 二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * sech ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 二 ^ { 三 }-_ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * coth ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 二 ^ { 三 }-_ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * tanh ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 二 ^ { 三 } + _ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * cot ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 二 ^ { 三 } + _ { C } 三 ) / _ { C } 二嬸二 * _ { C } 二 ^ { 二 } * tan ( _ { C } 一 + _ { C } 二 * x + _ { C } 三 * t ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( ma八 * _ { C } 三 ^ { 三 } + 四 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 }-_ { C } 四 ) / _ { C } 三 + 二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * JacobiDN ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( ma八 * _ { C } 三 ^ { 三 } + 四 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 }-_ { C } 四 ) / _ { C } 三 + ( 二 * _ { C } 三 ^ { 二 } 鋪二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * _ { C } 一 ^ { 二 } ) * JacobiND ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 } + 四 * _ { C } 三 ^ { 三 }-_ { C } 四 ) / _ { C } 三孵二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * JacobiNS ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=( 六分之一 ) * ( 四 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 } + 四 * _ { C } 三 ^ { 三 }-_ { C } 四 ) / _ { C } 三孵二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * _ { C } 一 ^ { 二 } * JacobiSN ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 } 扳四 * _ { C } 三 ^ { 三 } + _ { C } 四 ) / _ { C } 三 + ( 鋪二 * _ { C } 三 ^ { 二 } + 二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * _ { C } 一 ^ { 二 } ) * JacobiNC ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ { u ( x , t )=-( 六分之一 ) * ( 八 * _ { C } 三 ^ { 三 } * _ { C } 一 ^ { 二 } 扳四 * _ { C } 三 ^ { 三 } + _ { C } 四 ) / _ { C } 三 + 二 * _ { C } 三 ^ { 二 } * _ { C } 一 ^ { 二 } * JacobiCN ( _ { C } 二 + _ { C } 三 * x + _ { C } 四 * t , _ { C } 一 ) ^ { 二 } } $

$ 九九八一二空七陽七陽七空四空六 * I + 五孵四四三一 * arctanh ( 十曉四八八一 / { \ sqrt { ( } } 建一百十 . * csc ( 一孵四空空空空 + 一爿五空空空 * x + 一孵六空空空空 * t ) ^ { 二 } + 一百十一 . ) ) $

$ 九九八一二空七陽七陽七空四空六 * I 抹五鋪四三三一 * arctan ( 十曉四八八一 / { \ sqrt { ( } } 建一百十 . * csch ( 一孵四空空空空 + 一爿五空空空 * x + 一孵六空空空空 * t ) ^ { 二 } 建一百十 . ) ) $

$ 九九八一二空七陽七陽七空四空六 * I + 五孵四四三一 * arctan ( 十曉四八八一 / { \ sqrt { ( } } 建一百十 . * csch ( 一孵四空空空空 + 一爿五空空空 * x + 一孵六空空空空 * t ) ^ { 二 } 建一百十 . ) ) $

聯絡

KdV 方程佇物理學的真濟領域攏有應用，比如講電漿體磁流波、離子聲波、非諧振晶格振動、低溫非線性晶格聲子波包的熱激發、液體氣體透濫物件的壓力表等。

KdV 方程嘛會當用散射的技術求解。

相關

• 格羅斯–皮塔呢夫斯基方程
• 孤立子

延伸閱讀

• Korteweg , D . J . and de Vries , F . " On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal , and on a New Type of Long Stationary Waves . " Philosophical Magazine ,三十九, 四仔二-被四百四十三 , 一千八百九十五 .
• P . G . Drazin . _ Solitons _ . Cambridge University Press , 一千九百八十三 .

參考文獻

一 . \ * 谷超豪《孤立子理論內底的達布變換佮其幾何應用》上海科學技術出版社二 . \ * 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論佮應用》科學出版社二空空七年三 . 李志斌編著《非線性數學物理方程的波解》科學出版社四 . 王東明著《消去法及其應用》科學出版社二千空二五 . \ * 何青王麗芬編著《Maple 教程》科學出版社二千空一十 ISBN 九九五七千八百七十五空三千空一十七抹七千四百四十五六 . Graham W . Griffiths William E . Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p 一百三十五 Equations Academy Press 七 . Richard H . Enns George C . McCGuire , Nonlinear Physics Birkhauser , 一千九百九十七八 . Inna Shingareva , Carlos Lizárraga-Celaya , Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer . 九 . Eryk Infeld and George Rowlands , Nonlinear Waves , Solitons and Chaos , Cambridge 兩千十 . Saber Elaydi , An Introduction to Difference Equationns , Springer 兩千十一 . Dongming Wang , Elimination Practice , Imperial College Press 兩千空四十二 . David Betounes , Partial Differential Equations for Computational Science : With Maple and Vector Analysis Springer , 一千九百九十八 ISBN 九九四七千八百空三鋪八千七百九十八鋪三千空四十三 . George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 一千九百九十八 ISBN 九九石七千八百空一鋪二千空六十四鋪四千七百五十九