LQR控制器

最優控制理論主要探討的是予動力系統以佇最小成本來運作，若系統動態會當用一組線性微分方程表示，遮的成本做二改泛函，這類的問題叫做線性二改（LQ）問題。這款問題的解決就是線性二擺調節器（英語：linear–quadratic regulator）， 簡稱LQR。

LQR 是回授控制器，方程式佇後壁會講著。LQR 是 LQG（線性二改高斯）問題解當中重要的一部份。而且 LQG 問題佮 LQR 問題攏是控制理論中上基礎的問題之一。

簡介

控制機器（譬如講飛行機）的控制器，抑是控制製程（譬如講化學反應）的控制器，會當進行最佳控制，方式是先設定成本函數，才由工程師來設定加權，利用數學演算法來揣著使成本函數第一小化的設定值。成本函數一般會定義做主要量測量（譬如講飛行懸度抑是講製程溫度）佮理想值的偏差的佮。演算法會設法調整參數，予遮的無希望出現的偏差降到上細。控制量的大細本身嘛會包括佇成本函數中。

LQR 演算法減少工程師為著予控制器最佳化，需付出的心力。不而過工程師猶是愛列出成本函數的相關參數，並且會結果佮理想的設計目標較。所以控制器的建構定會是迵天代的，工程師咧模擬過程當中決定最佳控制器，才閣去調整參數予結果閣較接近設計目標。

佇本質上，LQR 演算法是走揣適合的狀態回授控制器的自動化方式。因此嘛會當有控制工程師用其他替代方式，譬如講全狀態回授（嘛叫做極點安置）的做法，此作法對控制器參數佮控制器性能之間的關係比較明確。而且 LQR 演算法的困難之處咧揣適合的加權因子，這嘛限制矣以 LQR 控制器合成的相關應用。

有限時間長度，連紲時間的 LQR

方程式如下的連紲時間線性系統，$ t \ in [t _ { 零 } , t _ { 一 }] $：

$ { \ dot { x } }=Ax + Bu $

其實二次成本泛函為

$ J=x ^ { T } ( t _ { 一 } ) F ( t _ { 一 } ) x ( t _ { 一 } ) + \ int \ limits _ { t _ { 零 } } ^ { t _ { 一 } } \ left ( x ^ { T } Qx + u ^ { T } Ru + 二 x ^ { T } Nu \ right ) dt $

其中 F、Q 和 R 攏正定矩陣。

會當予成本上小化的回授控制律為

$ u=-Kx \ , $

其中 $ K $ 為

$ K=R ^ { 影一 } ( B ^ { T } P ( t ) + N ^ { T } ) \ , $

而且 $ P $ 是連紲時間 Riccati 四界的解：

$ A ^ { T } P ( t ) + P ( t ) A-( P ( t ) B + N ) R ^ { 影一 } ( B ^ { T } P ( t ) + N ^ { T } ) + Q=-{ \ dot { P } } ( t ) \ , $

邊界條件如下

$ P ( t _ { 一 } )=F ( t _ { 一 } ) . $

Jmin 的一崁條件如下

( i ) 狀態方程

$ { \ dot { x } }=Ax + Bu $

( ii ) 協態方程

$-{ \ dot { \ lambda } }=Qx + Nu + A ^ { T } \ lambda $

( iii ) 靜止方程

$ 零=Ru + N ^ { T } x + B ^ { T } \ lambda $

( iv ) 邊界條件

$ x ( t _ { 零 } )=x _ { 零 } $

而且 $ \ lambda ( t _ { 一 } )=F ( t _ { 一 } ) x ( t _ { 一 } ) $

不限時間長度，連紲時間的 LQR

考慮以下的連紲時間線性系統

$ { \ dot { x } }=Ax + Bu $

其實成本泛函為

$ J=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ left ( x ^ { T } Qx + u ^ { T } Ru + 二 x ^ { T } Nu \ right ) dt $

會當予成本上小化的回授控制律為

$ u=-Kx \ , $

其中 $ K $ 定義做

$ K=R ^ { 影一 } ( B ^ { T } P + N ^ { T } ) \ , $

而且 $ P $ 是代數 Riccati 四界的解

$ A ^ { T } P + PA-( PB + N ) R ^ { 影一 } ( B ^ { T } P + N ^ { T } ) + Q=零 \ , $

嘛會使寫做下式的

$ { \ mathcal { A } } ^ { T } P + P { \ mathcal { A } }-PBR ^ { 影一 } B ^ { T } P + { \ mathcal { Q } }=零 \ , $

其中

$ { \ mathcal { A } }=A-BR ^ { 影一 } N ^ { T } \ qquad { \ mathcal { Q } }=Q-NR ^ { 影一 } N ^ { T } \ , $

有限時間長度，離散時間的 LQR

考慮離散時間的線性系統，定義如下

$ x _ { k + 一 }=Ax _ { k } + Bu _ { k } \ , $

其實會當指標

$ J=x _ { N } ^ { T } Qx _ { N } + \ sum \ limits _ { k=零 } ^ { N 影一 } \ left ( x _ { k } ^ { T } Qx _ { k } + u _ { k } ^ { T } Ru _ { k } + 二 x _ { k } ^ { T } Nu _ { k } \ right ) $

會當予性能指標上小化的最佳控制序列做

$ u _ { k }=-F _ { k } x _ { k } \ , $

其中

$ F _ { k }=( R + B ^ { T } P _ { k + 一 } B ) ^ { 影一 } ( B ^ { T } P _ { k + 一 } A + N ^ { T } ) \ , $

而且 $ P _ { k } $ 是由動態 Riccati 方程倒退時間抹壁山市計算著

$ P _ { k 影一 }=A ^ { T } P _ { k } A-( A ^ { T } P _ { k } B + N ) \ left ( R + B ^ { T } P _ { k } B \ right ) ^ { 影一 } ( B ^ { T } P _ { k } A + N ^ { T } ) + Q $

從終端條件 $ P _ { N }=Q $ 開始算。注意 $ u _ { N } $ 無定義，因為乎 $ x $ 是由 $ Ax _ { N 影一 } + Bu _ { N 影一 } $ 推導到其尾的狀態 $ x _ { N } $。

不限時間長度，離散時間的 LQR

考慮離散時間的線性系統，定義如下

$ x _ { k + 一 }=Ax _ { k } + Bu _ { k } \ , $

其實會當指標

$ J=\ sum \ limits _ { k=零 } ^ { \ infty } \ left ( x _ { k } ^ { T } Qx _ { k } + u _ { k } ^ { T } Ru _ { k } + 二 x _ { k } ^ { T } Nu _ { k } \ right ) $

會當予性能指標上小化的最佳控制序列做

$ u _ { k }=-Fx _ { k } \ , $

其中

$ F=( R + B ^ { T } PB ) ^ { 影一 } ( B ^ { T } PA + N ^ { T } ) \ , $

而且 $ P $ 是離散代數 Riccati 四角勢（DARE）唯一正定解。

$ P=A ^ { T } PA-( A ^ { T } PB + N ) \ left ( R + B ^ { T } PB \ right ) ^ { 影一 } ( B ^ { T } PA + N ^ { T } ) + Q $ .

會當寫做

$ P={ \ mathcal { A } } ^ { T } P { \ mathcal { A } }-{ \ mathcal { A } } ^ { T } PB \ left ( R + B ^ { T } PB \ right ) ^ { 影一 } B ^ { T } P { \ mathcal { A } } + { \ mathcal { Q } } $

其中

$ { \ mathcal { A } }=A-BR ^ { 影一 } N ^ { T } \ qquad { \ mathcal { Q } }=Q-NR ^ { 影一 } N ^ { T } $ .

求解代數 Riccati 方程的一个方式是迵天代計算有限時間的動態 Riccati 四角勢，一直到所得的解收斂為止。

參考資料

* Kwakernaak , Huibert & Sivan , Raphael . Linear Optimal Control Systems . First Edition . Wiley-Interscience . 一千九百七十二 . ISBN  空抹四百七十一抹五鋪一千一百十二 .

* Sontag , Eduardo . Mathematical Control Theory : Deterministic Finite Dimensional Systems . Second Edition . Springer . 一千九百九十八 . ISBN  空九三百八十七抹九九五八千四百八十九九石五 .

外部連結

• MATLAB function for Linear Quadratic Regulator design
• Mathematica function for Linear Quadratic Regulator design