Lp空間

佇咧數學中，_ Lp _ 空間是由 p 次會當積函數組成的空間；對應的ℓp 空間是由 _ p _ 真順序列組成的空間。𪜶有當時仔叫做勒貝格空間。

佇咧泛函分析佮拓撲向量空間內底，𪜶構成做巴攑赫空間一類重要的例。_ Lp _ 空間佇工程學領域的有限元分析中有應用。

基本智識

長度、距離佮範數

泛函分析中，不時會佇咧某類函數的集合上架設拓結構乃至閣較複雜的結構，通好來使用拓乃至分析學的智識來討論遮的集合的屬性。上捷看著的附加結構是有範向量空間。將函數集合作為裝備矣範數向量空間來看待，對理解函數類的關係佮性質。範數是歐幾里德空間中長度概念的推廣。平面幾何抑是立體幾何中，長度佮距離是上基本的概念之一。物件的形體、位置、大細等性質或者是攏建立佇咧長度佮距離的定義頂懸。上蓋直觀的長度概念叫是由平直物理空間內抽象來，滿足畢氏定理。譬如講佇平面上，原點到點 $ P=( x , y ) $ 的向量長度是 $ { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } $。三維空間內底，原點到點 $ P=( x , y , z ) $ 的向量長度 $ { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } + z ^ { 二 } } } $。長度函數 $ l $ 滿足如下的基本性質：

一 . 干焦零向量的長度是零：$ l ( v )=零 \ iff v=零 , $ 二 . 數乘線性：$ \ forall \ lambda \ in \ mathbb { R } , \ ; \ ; l ( \ lambda v )=\ lambda l ( v ) , $ 三 . 滿足三角不等式：$ l ( u ) + l ( v ) \ geqslant l ( u + v ) . $

比如講佇閣較一般的 _ n _ 維歐幾里德空間 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中，會當定義向量 $ v=( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots x _ { n } ) $ 的歐幾里德長度是

$ l ( v )=( x _ { 一 } ^ { 二 } + x _ { 二 } ^ { 二 } + \ cdots + x _ { n } ^ { 二 } ) ^ { \ frac { 一 } { 二 } } $

這个函數嘛滿足以上的基本性質。閣較一般，咧向量空間 $ V $ 中，滿足以上性質的函數：$ { \ mathcal { N } } : \ ; V \ rightarrow \ mathbb { R } _ { + } $ 這號做 $ V $ 上的「長度」函數抑是範數。譬論講佇歐幾里德空間 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中嘛會當對予定的實數 _ p _ ≥ 一定義的範數：

$ \ { \ mathcal { N } } _ { p } ( x )=\ | x \ | _ { p }=\ left ( | x _ { 一 } | ^ { p } + | x _ { 二 } | ^ { p } + \ dotsb + | x _ { n } | ^ { p } \ right ) ^ { \ frac { 一 } { p } } $

這个範數稱做 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的 _ p _-範數。_ p _=二的時陣，就是捷看的歐幾里德範數。_ p _=一的時陣，是所謂的曼哈頓距離。當 _ p _ 較無錢通好大的時陣，_ p _-範數較趨一个「極限」範數，講做齊勻的範數（也咧記 _ L _ ∞-範數）， 定義做：

$ \ { \ mathcal { N } } _ { \ infty } ( x )=\ | x \ | _ { \ infty }=\ max ( | x _ { 一 } | , | x _ { 二 } | \ cdots , | x _ { n } | ) . $

著無仝款的 _ p _ 來講，等長度點的集合是無仝款的。譬如講正圖列出了三種無仝範數下單位圓（對原點出發，「 長度」等於一的點的集合）形狀。

會當數維度空間的 _ p _-範數

有限維空間內底的 _ p _-範數會使如果 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 一般定義。做空間維數是會當數無限時，嘛會當將 _ p _-範數的定義欲拓展到其上。這个定義一般適用佇由數列或者是序列構成的空間，這號做 $ \ ell ^ { p } $ 空間。定定看著的有如下比例講：

• $ \ ell ^ { 一 } $ 空間，所有絕對收斂級數列構成的空間；
• $ \ ell ^ { 二 } $ 空間，所有平方的收斂級數列構成的空間；
• $ \ ell ^ { \ infty } $ 空間，所有的界數列構成的空間。

事實上，序列集合起來自然會當按照序列的加法佮數乘定義出向量空間。而且 $ \ ell ^ { p } $ 空間只是佇這个向量空間內底定義如下的 _ p _-範數：

$ \ | ( x _ { n } ) _ { n \ in \ mathbb { N } } \ | _ { p }=\ left ( | x _ { 一 } | ^ { p } + | x _ { 二 } | ^ { p } + \ dotsb + | x _ { n } | ^ { p } + | x _ { n + 一 } | ^ { p } + \ dotsb \ right ) ^ { \ frac { 一 } { p } }=\ left ( \ sum _ { n \ in \ mathbb { N } } | x _ { n } | ^ { p } \ right ) ^ { \ frac { 一 } { p } } . $

毋過，頂懸正爿的級數無總是覕相揣（有可能是其級數佮是無窮大）。 所以乎 $ \ ell ^ { p } $ 空間實際上是所有序列集合中，令頂港正爿的級數會當斂起來的元素組成的子集。

會當證明，隨著 _ p _ 增大，$ \ ell ^ { p } $ 空間包含的元素嘛愈濟。實際上，若是 _ p _ < _ q _，遐爾 $ \ ell ^ { p } $ 空間是 $ \ ell ^ { q } $ 空間的真子集。譬論講，以下的數列：

$ a=( { \ frac { 一 } { n } } ) _ { n \ in \ mathbb { N } ^ { * } }=\ left ( 一 , { \ frac { 一 } { 二 } } , { \ frac { 一 } { 三 } } , \ cdots , { \ frac { 一 } { n } } , \ cdots \ right ) $

無屬 $ \ ell ^ { 一 } $，因為乎 $ 一 + { \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } + \ cdots + { \ frac { 一 } { n } } + \ cdots $ 的佮是無窮大。猶毋過，因為

$ 一 + { \ frac { 一 } { 二 ^ { 二 } } } + { \ frac { 一 } { 三 ^ { 二 } } } + \ cdots + { \ frac { 一 } { n ^ { 二 } } } + \ cdots $

和有限的，所以數列的 $ a $ 屬於 $ \ ell ^ { 二 } $ .

_ Lp _ 空間

做空間維持是無散而且不可數的時陣（這無一个可數的底蒂）， 無法度運用有限維或者是會當維持空間的辦法來定義的範數，但對著會當積函數空間，猶原會當定義類似的概念。具體來講，予定測度空間 ( _ S _ , _ Σ _ , _ μ _ ) 佮大於等於一的實數 _ p _，考慮所有對 _ S _ 到域 $ \ mathbb { K } $（$ \ mathbb { K }=\ mathbb { C } $ 抑是 $ \ mathbb { R } $）上的可測函數。考慮所有絕對值的 _ p _ 次冪佇咧 _ S _ 可積的函數，也就是集合：

$ { \ mathcal { L } } ^ { p } ( S , \ mu )=\ left \ { f ; \ ; \ | f \ | _ { p }=\ left ( { \ int _ { S } | f | ^ { p } \ ; \ mathrm { d } \ mu } \ right ) ^ { \ frac { 一 } { p } } < \ infty \ right \ } $

集合內底的函數會當進行加法佮數乘：

$ ( f + g ) ( x )=f ( x ) + g ( x ) , \ quad ( \ lambda f ) ( x )=\ lambda f ( x ) , \ ; \ ; \ lambda \ in \ mathbb { K } $

對閔可夫斯基不等式會當知，兩个 _ p _ 次可積函數的佮，嘛是一个 _ p _ 次可積函數。另外咧，𠢕證明 $ \ | \ lambda f \ | _ { p }=| \ lambda | \ | f \ | _ { p } $；閔可夫斯基不等式積分形式說明三角不等式著 $ \ | \ cdot \ | _ { p } $ 成立。滿足按呢的條件 $ \ | \ cdot \ | _ { p } $ 構成一个半的範數，令 $ { \ mathcal { L } } ^ { p } ( S , \ mu ) $ 成做一个半賦範向量空間。所以是半範數，是因為滿足 $ \ | f \ | _ { p }=零 $ 的函數 $ f $ 無一定是零函數。毋過會當通過一套標準的拓撲方法對這个半賦的範勢空間得著一个範勢空間：考慮 $ { \ mathcal { L } } ^ { p } ( S , \ mu ) $ 中所有會當予 $ \ | f \ | _ { p }=零 $ 的函數 $ f $ 的集合：

$ N=\ left \ { f ; \ ; \ | f \ | _ { p }=零 \ right \ } . $

集合矣 $ N $ 會當看做是映射 $ f \ mapsto \ | f \ | _ { p } $ 的零空間。著會當測函數 $ f $ 來講，$ \ | f \ | _ { p }=零 \ iff \ mu ( f \ neq 零 )=零 \ iff f $ 強欲替零（佇咧測度 _ μ _ 意義下）。 所以乎

$ N \ equiv \ mathrm { ker } ( \ | \ cdot \ | _ { p } )=\ { f : f \ ; \ ; \ mu-$ 強欲替零 $ \ } . $

而且 $ N $ 仝時陣嘛是 $ { \ mathcal { L } } ^ { p } ( S , \ mu ) $ 的一个子空間。設 $ L ^ { p } ( S , \ mu ) $ 是 $ { \ mathcal { L } } ^ { p } ( S , \ mu ) $ 關於著 $ N $ 的商空間。$ L ^ { p } ( S , \ mu ) $ 中的某一个元素 $ f $ 會當看做是所有和函數 $ f $ 相差一个 $ N $ 中元素的函數構成的等價類。按呢定義的空間 $ L ^ { p } ( S , \ mu ) $ 是一个範勢向量空間，這號做 _ S _ 上函數關於測度 _ μ _ 的 _ Lp _ 空間。$ \ | \ cdot \ | _ { p } $ 這號做 $ L ^ { p } ( S , \ mu ) $ 函數的 _ p _-範數。

需要注意的是，_ Lp _ 空間內面的元素論真來講毋是具體的函數，是一族函數構成的等價類。毋過需要將 _ Lp _ 空間元素當做函數來計算的時，參與計算的實際是對這族函數當中抽取的一个代表函數。

佮序列空間仝款，佇函數空間頂懸嘛會當定義齊勻的範數。定義的方法佮範數仝款，首先定義：

$ \ | f \ | _ { \ infty } \ equiv \ inf \ { C \ geq 零 : | f ( x ) | \ ; \ ; \ mu-$ 差不多四界和等於 $ C \ } . $

$ { \ mathcal { L } } ^ { \ infty } ( S , \ mu )=\ left \ { f ; \ ; \ | f \ | _ { \ infty } < \ infty \ right \ } $

$ \ | \ cdot \ | _ { \ infty } $ 是一个半範數，號 $ N \ equiv \ mathrm { ker } ( \ | \ cdot \ | _ { \ infty } )=\ { f : f \ mu-$ 強欲替零 $ \ } . $，著 $ { \ mathcal { L } } ^ { \ infty } ( S , \ mu ) $ 關於著 $ N $ 的商空間是一个範勢向量空間，記作 $ L ^ { \ infty } ( S , \ mu ) $。

齊勻的範數佮 _ p _-範數之間存在以下關係：

$ \ | f \ | _ { \ infty }=\ lim _ { p \ to \ infty } \ | f \ | _ { p } $

會當證明，_ Lp _ 空間是完備的空間，嘛是講是一个巴攑赫空間（這个範勢了後向量空間）。 _ Lp _ 空間的完備性通常予人叫做里茲－費舍爾定理。具體的證明會當藉助測度上的勒貝格積分的相關覕鬚定理來完成。

特例

_ Lp _ 空間攏是巴攑赫空間，但是干焦做 _ p _=二的時陣，_ L _ 二空間是希爾伯特空間。也就是講，會當做是 _ L _ 二空間內底的元素定義內積。具體形式是：

$ \ langle f , g \ rangle=\ int _ { S } f ( x ) { \ overline { g ( x ) } } \ , \ mathrm { d } \ mu ( x ) . $

內底的 $ { \ overline { g ( x ) } } $ 表示複數的共擔。這个內積是對二-範數自然誘導的內積。_ L _ 二空間佇立葉級數佮量子力學佮其他領域有重要的運用。

$ \ ell ^ { p } $ 空間會當看作是 _ Lp _ 空間的特例。只要取 _ Lp _ 空間內底 $ S=\ mathbb { N } $，測度為 $ \ mathbb { n } $ 上的計數測度，對的來講 $ L ^ { p } ( S , \ mu ) $ 就是講 $ \ ell ^ { p } $ 空間。

_ L _ p 空間的性質

嘿尪仔空間

一个拓撲向量空間的嘿尪仔空間是講這个向量空間上所有的連續線性泛函構成的泛函空間。對某一个大於一的實數 _ p _，設 _ q _ 是滿足 $ { \ frac { 一 } { p } } +{ \ frac { 一 } { q } }=一 $ 唯一實數，則空間 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 的嘿尪仔空間 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 佮 _ Lq _ ( _ S _ , _ μ _ ) 仝構。這个關係會當通過一个自然的同構影射展現：

$ \ kappa _ { p } : \ ; \ ; L ^ { q } ( S , \ mu ) \ longrightarrow L ^ { p } ( S , \ mu ) ^ { * } $

: : $ f \ qquad \ longmapsto \ kappa _ { p } ( f ) :=\ left ( g \ in L ^ { p } ( S , \ mu ) \ ; \ mapsto \ ; \ int _ { S } fg \ ; d \ mu \ right ) . $

赫爾德不等式保證其中的泛函 $ \ kappa _ { p } ( f ) $ 是真好定義並且是連紲的。$ \ kappa _ { p } $ 是一个線性搬射，根據赫爾德無啥貨盡磅的情況，$ \ kappa _ { p } ( f ) $ 做為泛函的範數佮 $ f $ 仝款，這說明 $ \ kappa _ { p } $ 是一个等距映射。此外閣會當證明，嘿尪仔空間 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 中間的任一線性泛函對尪仔空間 _ G _ 攏會當表示講某一个 $ \ kappa _ { p } ( g ) $ 彼个形體，所以乎 $ \ kappa _ { p } $ 是一個滿射。結合以上的性質會當推出，$ \ kappa _ { p } $ 是一个等距仝構。佇這个同構的意義之下，咱定定講 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 的嘿尪仔空間「是」_ Lq _ ( _ S _ , _ μ _ )。

以上性質說明，所以大於一的時陣，_ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 是一个蓋自反空間：_ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 的二次對尪仔空間（嘿尪仔空間的嘿尪仔空間）「 是」伊家己（佇同構的意義之下）。 具體來講，對 $ \ kappa _ { p } $ 出發，會當構造出以下的關係：

$ j _ { p } \ colon L ^ { p } ( S , \ mu ) { \ overset { \ kappa _ { q } } { \ to } } L ^ { q } ( S , \ mu ) ^ { * } { \ overset { \ , \ , \ left ( \ kappa _ { p } ^ { 影一 } \ right ) ^ { * } } { \ longrightarrow } } L ^ { p } ( S , \ mu ) ^ { * * } $

$ \ kappa _ { q } $ 佮 $ \ left ( \ kappa _ { p } ^ { 影一 } \ right ) ^ { * } $ 複合影射 _ jp _ 是對 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 去炤著其二擺對尪仔空間的閣有值躉入去映射：

: $ \ forall f \ in L ^ { p } ( S , \ mu ) , \ ; \ ; G \ in L ^ { p } ( S , \ mu ) ^ { * } , \ ; \ ; \ exists g \ in L ^ { q } ( S , \ mu ) $ 予得 $ G=\ kappa _ { p } ( g ) . $

對而且

: $ \ ; \ ; \ left [j _ { p } ( f ) \ right] ( G )=\ left [\ left ( \ left ( \ kappa _ { p } ^ { 影一 } \ right ) ^ { * } \ circ \ kappa _ { q } \ right ) ( f ) \ right] ( G )=\ left [\ left ( \ kappa _ { p } ^ { 影一 } \ right ) ^ { * } \ left ( \ kappa _ { q } ( f ) \ right ) \ right] ( G )=\ left [\ kappa _ { q } ( f ) \ right] \ left ( \ kappa _ { p } ^ { 影一 } ( G ) \ right )=\ left [\ kappa _ { q } ( f ) \ right] ( g )=\ int _ { S } fg \ ; d \ mu=G ( f ) . $

成做兩个等距仝構的複合影射，_ jp _ 嘛是等距仝構。這說明 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 和 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * \ * 嘛是仝構關係。

若測度 _ μ _ 是 σ-有限測度，遐爾 _ L 一 _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 和 _ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) 嘛是等距仝構。會當證明，

$ \ kappa _ { 一 } : \ ; \ ; f \ in L ^ { \ infty } ( S , \ mu ) \ longmapsto \ left ( g \ in L ^ { 一 } ( S , \ mu ) \ ; \ mapsto \ ; \ int _ { S } fg \ ; d \ mu \ right ) $

是 _ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) 到 _ L 一 _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 上的一个同構。

_ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) 是閣較複雜。_ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 會當予人刻畫做所有關於測度 _ μ _ 絕對連續的有界帶號有限可加測度的集合。若承認選擇公理，遐爾仔一般來講，_ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 這个集合愛比 _ L 一 _ ( _ S _ , _ μ _ )「大會濟」。 只有對某一寡簡單的測度 _ μ _，_ L∞ _ ( _ S _ , _ μ _ ) \ * 會佮 _ L 一 _ ( _ S _ , _ μ _ ) 仝構。

1875入去

予定兩个實數：一 ≤ _ p _ < _ q _ ≤ ∞，當比較 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 和 _ Lq _ ( _ S _ , _ μ _ ) 的時陣會發現講，前者內底包含一寡局部行為更加無規則的函數，尾者著愛包括「尾溜閣較粗」的函數。比如講伊，$ L ^ { 一 } ( \ mathbb { R } ) $ 中的連續函數（也就是實數體頂的勒貝格可積函數）會當佇零的附近取足大的值，毋過當自變數較無錢通好的時陣，函數的值著愛較注意咧 . 而對 $ L ^ { \ infty } ( \ mathbb { R } ) $ 中的連續函數（有界連紲函數）， 無論是自變數偌大，函數值攏會使無佇咧零附近，但是顛倒反起來講，無論是自變數取偌濟，函數的值嘛袂當超過頂界佮下界。

準講全集 _ S _ 佇咧 _ μ _ 當中的測度有限，以及一 ≤ _ p _ < _ q _ ≤ ∞。遐爾由赫爾德無啥等式有如下限制：

$ \ | f \ | _ { p } \ leq \ mu ( S ) ^ { ( 一 / p )-( 一 / q ) } \ | f \ | _ { q } $

這說明空間 _ Lq _ ( _ S _ , _ μ _ ) 會當予連紲的嵌入去 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 內底。嘛會使講，_ Lq _ ( _ S _ , _ μ _ ) 到 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 上的恆等映射 $ I _ { p , q } $ 是有界連續映射。$ I _ { p , q } $ 的算子範數就是由以上不等式取等號的情形確定的：

$ \ | I _ { p , q } \ |=\ mu ( S ) ^ { ( 一 / p )-( 一 / q ) } . $

誠濟空間

研究某一个複雜的無窮度維持範空間的時陣，定定會使用一个由空間內底較「簡單」元素構成的誠濟集來逼近空間內底的一个元素。準講一下  ≤ _ p _ < ∞，則空間 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 中的元素會當用測度空間 ( _ S _ ,   _ Σ _ ,   _ μ _ ) 上的簡單會當積函數逼近。予定測度空間 ( _ S _ ,   _ Σ _ ,   _ μ _ )，其上的一个簡單會當積函數指的是形同：

$ f=\ sum _ { j=一 } ^ { n } a _ { j } \ mathbf { 一 } _ { A _ { j } } $

的函數。內底的 _ aj _ 是實數抑是複數係數，_ Aj _  ∈ _ Σ _ 是測度有限的會當測集合。由勒貝格積分的構造方法可知，簡單會當積函數的集合佇咧 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 中膏膏。

若是 _ S _ 本身嘛是測度空間，而且 _ μ _ 是 _ S _ 上的鮑萊耳測度，若按呢會當過烏雷松引理證明，所有 _ S _ 可測而且測度有限的子集對應的指示函數攏會當通過連紲函數逼近。所以所有的簡單會當積函數會當用連紲函數逼近。因為會當證明，_ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 中的連續函數構成的集合佇咧 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 中膏膏。對更具體的空間，會當證明閣較強的結果。比如講當 _ S _ 是 _ n _ 維歐幾里德空間，而且 _ μ _ 是 _ S _ 上的正則鮑萊耳測度的時陣，會當證明，所有密切的光滑函數的集合佇咧 _ Lp _ ( _ S _ , _ μ _ ) 中膏膏。

參見

• 哈代空間
• 赫爾德平均
• 赫爾德空間
• 方均根

參考來源

• Adams , Robert A . Sobolev Spaces . New York : Academic Press . 一千九百七十五 . ISBN 九百七十八孵空鋪十二孵四四千一百五十閣一 .

外部連結

• Proof that _ L _ p spaces are complete . PlanetMath .