RLC電路

RLC 電路（英語：RLC circuit）是一種由電阻（R）、電感（L）、電容（C）組成的電路結構。電路這个名稱來自用來表示該電路組成元件的字母，上元件的順序可能佮 RLC 無仝。LC 電路是其簡單的例。RLC 電路嘛予人號做二階電路，電路內面的電壓或者是電流是一个二階微分方程的解，其實欲按怎做電路結構決定。

若電路元件攏看做線性元件的時陣，一个 RLC 電路會當予人視作電子諧波振盪器。RLC 電路做振盪器電路有真濟應用。無線電接收機佮電視機通過振盪器電路調倚以對周圍的無線電波內底選擇頻率的範圍，這種的電路通常予人號做是調諧電路。

這種電路的固有頻率一般表示 $ f _ { c }={ 一 \ over 二 \ pi { \ sqrt { LC } } } $，國際單位為赫茲（Hz）。

RLC 電路定定用來做紮通濾波器抑是帶阻濾波器，其實 Q 因為會當由下式來得著：

$ Q={ f _ { c } \ over B _ { W } }={ 二 \ pi f _ { c } L \ over R }={ 一 \ over { \ sqrt { R ^ { 二 } C / L } } } $

RLC 電路的組成結構一般有兩種，分別是串聯型佮並聯型。

RLC 串聯電路

在此電路中，三个元件攏佮電壓以串聯方式連接。其主要的微分方程會當將三个元件的本構方程代入基爾霍夫電壓定律（KVL）得著。由基爾霍夫電壓定律：

: $ v _ { R } + v _ { L } + v _ { C }=v ( t ) \ , $

其中 $ \ textstyle v _ { R } , v _ { L } , v _ { C } $ 分別為 R、L、C 兩爿的電壓，$ \ textstyle v ( t ) $ 為時間變化的電源的電壓。共本構方程代入會著：

: $ RI ( t ) + L { { dI } \ over { dt } } + { 一 \ over C } \ int _ {-\ infty } ^ { \ tau=t } I ( \ tau ) \ , d \ tau=v ( t ) $

佇電源電壓做常數的情形下，對上式求導覽，並且除以 L，得著以下佇二階微分方程：

: $ { { d ^ { 二 } I ( t ) } \ over { dt ^ { 二 } } } + { R \ over L } { { dI ( t ) } \ over { dt } } + { 一 \ over { LC } } I ( t )=零 $

這方程會當寫做閣較捷用的形式：

: $ { { d ^ { 二 } I ( t ) } \ over { dt ^ { 二 } } } + 二 \ alpha { { dI ( t ) } \ over { dt } } + { \ omega _ { 零 } } ^ { 二 } I ( t )=零 $

$ \ alpha \ , $ 這號做「衰減量」，用于衡量做徙掉外部輸入了後，此電路的連鞭響應衰微的速率。$ \ omega _ { 零 } \ , $ 為角共振頻率。這个二係數由下式共出：

: $ \ alpha={ R \ over 二 L } $，$ \ omega _ { 零 }={ 一 \ over { \ sqrt { LC } } } $

阻尼的係數 $ \ zeta $ 是另外一个常用的參數，定義做 $ \ alpha \ , $ 佮 $ \ omega _ { 零 } \ , $ 的比值：

: $ \ zeta={ \ frac { \ alpha } { \ omega _ { 零 } } } $

阻尼的係數嘛會當由 R、L、C 求會得：

: $ \ zeta={ R \ over 二 } { \ sqrt { C \ over L } } $

連鞭態響應

根據無仝的阻尼係數 $ \ zeta $ 的值，該微分方程的解法有三種無仝的狀況，分別為：欠阻尼（$ \ scriptstyle \ zeta < 一 \ , $），過阻尼（$ \ scriptstyle \ zeta > 一 \ , $），猶閣有臨界阻尼（$ \ scriptstyle \ zeta=一 \ , $）。該微分方程的特徵方程：

: $ s ^ { 二 } + 二 \ alpha s + { \ omega _ { 零 } } ^ { 二 }=零 $

該方程的根為：

: $ s _ { 一 }=-\ alpha + { \ sqrt { \ alpha ^ { 二 }-{ \ omega _ { 零 } } ^ { 二 } } } $

$ s _ { 二 }=-\ alpha-{ \ sqrt { \ alpha ^ { 二 }-{ \ omega _ { 零 } } ^ { 二 } } } $

該微分方程通解為兩支指數函數的線性疊加：

: $ i ( t )=A _ { 一 } e ^ { s _ { 一 } t } + A _ { 二 } e ^ { s _ { 二 } t } $

係數 _ A _ 一以及 _ A _ 二由具體問題的邊界條件予出來。

過阻尼響應

過阻尼響應（$ \ scriptstyle \ zeta > 一 \ , $）為：

: $ i ( t )=A _ { 一 } e ^ {-\ omega _ { 零 } ( \ zeta + { \ sqrt { \ zeta ^ { 二 } 影一 } } ) t } + A _ { 二 } e ^ {-\ omega _ { 零 } ( \ zeta-{ \ sqrt { \ zeta ^ { 二 } 影一 } } ) t } $

過阻尼響應是一个連鞭態電流無振盪的衰減。

欠阻尼響應

欠阻尼響應（$ \ scriptstyle \ zeta < 一 \ , $）為：

: $ i ( t )=B _ { 一 } e ^ {-\ alpha t } \ cos ( \ omega _ { d } t ) + B _ { 二 } e ^ {-\ alpha t } \ sin ( \ omega _ { d } t ) \ , $

通過三角恆等式，這兩个三角函數通用一个有相位的正絃函數表達：

: $ i ( t )=B _ { 三 } e ^ {-\ alpha t } \ sin ( \ omega _ { d } t + \ varphi ) \ , $

欠阻尼響應是一个頻率為 $ \ omega _ { d } \ , $ 的衰減的振盪。振盪衰減的速率為著 $ \ alpha $。指數里的 $ \ alpha $ 描述了振盪的包絡函數。_ B _ 一以及 _ B _ 二（抑是第二款形式當中的 _ B _ 三以及相位䆀 $ \ varphi \ , $）為任意常數，由邊界條件確定。頻率 $ \ omega _ { d } \ , $ 由下式共出：

: $ \ omega _ { d }={ \ sqrt { { \ omega _ { 零 } } ^ { 二 }-\ alpha ^ { 二 } } }=\ omega _ { 零 } { \ sqrt { 一-\ zeta ^ { 二 } } } $

這就是所謂的阻尼共振頻率抑是講阻尼固有頻率。伊是電路佇無外部源驅動的時自然振動的頻率。諧振頻率 $ \ omega _ { 零 } \ , $ 是電路佇外口部源驅動的時陣的諧振頻率，為著方便公所分定號做無阻尼諧振頻率。

臨界阻尼響應

臨界阻尼響應（$ \ scriptstyle \ zeta=一 \ , $）為：

: $ i ( t )=D _ { 一 } te ^ {-\ alpha t } + D _ { 二 } e ^ {-\ alpha t } \ , $

拉普拉斯域

會當利用拉普拉斯轉換分析 RLC 串聯電路的交流暫態佮穩態行為。若欲講電壓源內底產生的波形，咧拉普拉斯轉換別步數對 _ V _ ( _ s _ )（其中 _ s _ 為著複頻率 $ s=\ sigma + i \ omega \ , $），是佇咧拉普拉斯域內底應用基爾霍夫電壓定律：

: $ V ( s )=I ( s ) \ left ( R + Ls + { \ frac { 一 } { Cs } } \ right ) $

其中 _ I _ ( _ s _ ) 為拉普拉斯轉換以後的電流，求解 _ I _ ( _ s _ )：

: $ I ( s )={ \ frac { 一 } { R + Ls + { \ frac { 一 } { Cs } } } } V ( s ) $

閣整理過無，來得著下式的：

: $ I ( s )={ \ frac { s } { L \ left ( s ^ { 二 } + { R \ over L } s + { \ frac { 一 } { LC } } \ right ) } } V ( s ) $

拉普拉斯導納

求解拉普拉斯導納 _ Y _ ( _ s _ )：

: $ Y ( s )={ I ( s ) \ over V ( s ) }={ \ frac { s } { L \ left ( s ^ { 二 } + { R \ over L } s + { \ frac { 一 } { LC } } \ right ) } } $

會當利用以上章節定義的參數 α 佮 ωo 來簡化上式，可得：

: $ Y ( s )={ I ( s ) \ over V ( s ) }={ \ frac { s } { L \ left ( s ^ { 二 } + 二 \ alpha s + { \ omega _ { 零 } } ^ { 二 } \ right ) } } $

極點佮零點

_ Y _ ( _ s _ ) 的零點是會當予 $ Y ( s )=零 $ 的 _ s _：

: $ s=零 \ , $ 佮 $ | s | \ rightarrow \ infty $

_ Y _ ( _ s _ ) 的極點是會使予 $ Y ( s ) \ rightarrow \ infty $ 的 _ s _，求解二次方程，可得：

: $ s=-\ alpha \ pm { \ sqrt { \ alpha ^ { 二 }-{ \ omega _ { 零 } } ^ { 二 } } } $

_ Y _ ( _ s _ ) 的極點就是前文中講著微分方程之特徵方程的根 $ s _ { 一 } $ 佮 $ s _ { 二 } $。

正絃仔穩態

正弦穩態會通過令 $ s=j \ omega $ 的相量形式來表示，其中 $ j $ 為虛數單位。

共這代入去頂懸行程的幅值中：

: $ \ displaystyle | Y ( s=j \ omega ) |={ \ frac { 一 } { \ sqrt { R ^ { 二 } + \ left ( \ omega L-{ \ frac { 一 } { \ omega C } } \ right ) ^ { 二 } } } } . $

以 _ ω _ 為變量的電流的函數為

有一个峰值 $ | I ( j \ omega ) | $。在此特殊情況下，這个峰值中的 _ ω _ 等於無阻尼固有諧振頻率：

: $ \ omega _ { 零 }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { LC } } } . $

RLC 伊並且聯電路

RLC 並且聯電路的特性會當利用電路的對偶性，將 RLC 並且聯電路看做是 RLC 串聯電路的對尪仔阻抗來處理，就會當用類似 RLC 串聯電路的分析方式來分析 RLC 伊並且聯電路。

RLC 並且聯電路的衰減量 $ \ alpha \ , $ 會使用下式求得：

: $ \ alpha={ 一 \ over 二 RC } $

其實阻尼默數是：

: $ \ zeta={ 一 \ over 二 R } { \ sqrt { L \ over C } } $

若無考慮 $ 二分之一 $ 這个係數，RLC 閣聯電路的阻尼係數拄好是 RLC 串聯電路阻尼係數的倒踏差。

頻域

共聯各元件的導納相加，就為此電路的導納：

: $ { 一 \ over Z }=$ $ { 一 \ over Z _ { L } } + { 一 \ over Z _ { C } } + { 一 \ over Z _ { R } }=$ $ { 一 \ over { j \ omega L } } + { j \ omega C } + { 一 \ over R } $

電容、電阻及電感並聯後，佇咧共振頻率的阻抗做上大值，佮電容、電阻及電感串聯的情形拄好倒反，RLC 而且聯電路是抗共振電路（antiresonator）。

正圖內底會當看著若用定電壓驅動的時陣，電流的頻率響應佇咧共振頻率 $ \ omega _ { 零 }={ 一 \ over { \ sqrt { LC } } } $ 處有上細值。若用定電流驅動，電壓的頻率響應佇咧共振頻率處有上大值，和 RLC 串聯電路內面，電流的頻率響應圖形類似。

其他構造

如圖七所示，電阻與電感串聯的並且聯 LC 電路是有必要考慮著線圈管線的電阻時定定拄著的一款鋪排結構。並聯 LC 電路定定用佇咧通濾波中間，而且 _ Q _ 因為主要電阻決定。電路的諧振頻率做

: $ \ omega _ { 零 }={ \ sqrt { { \ frac { 一 } { LC } }-\ left ( { \ frac { R } { L } } \ right ) ^ { 二 } } } $

這是電路的諧振頻率，定義為導納虛部做零時的頻率。咧特徵方程的一般形式（這電路佮進前仝款）中出現的頻率

: $ s ^ { 二 } + 二 \ alpha s + { \ omega'_ { 零 } } ^ { 二 }=零 $

毋是仝款的頻率。佇這款狀況下是有的無阻尼諧振頻率

: $ \ omega'_ { 零 }={ \ sqrt { \ frac { 一 } { LC } } } $

阻抗幅值上大時的頻率 $ \ omega _ { m } $ 為，

: $ \ omega _ { m }=\ omega'_ { 零 } { \ sqrt { { \ frac { 影一 } { Q _ { L } ^ { 二 } } } + { \ sqrt { 一 + { \ frac { 二 } { Q _ { L } ^ { 二 } } } } } } } $

其中 $ Q _ { L }={ \ frac { \ omega'_ { 零 } L } { R } } $ 是線箍仔的品質因數。這會當下式的足好的親像

: $ \ omega _ { m } \ approx \ omega'_ { 零 } { \ sqrt { 一-{ \ frac { 一 } { 二 Q _ { L } ^ { 四 } } } } } $

此外，精確的最大阻抗幅值由下式共出，

: $ | Z | _ { max }=RQ _ { L } ^ { 二 } { \ sqrt { \ frac { 一 } { 二 Q _ { L } { \ sqrt { Q _ { L } ^ { 二 } + 二 } } 鋪二 Q _ { L } ^ { 二 } 影一 } } } $ .

$ Q _ { L } $ 值比一大時，會當用下式足好的親像

: $ | Z | _ { max } \ approx { RQ _ { L } ^ { 二 } } $ .

仝款，電阻與電容閣聯的串聯 LC 電路通用有耗介質的電容器。這種構造如圖八所示。佇這款的情況下諧振頻率（阻抗的虛部為零時的頻率），由下式共出，

: $ \ omega _ { 零 }={ \ sqrt { { \ frac { 一 } { LC } }-{ \ frac { 一 } { ( RC ) ^ { 二 } } } } } $

阻抗幅值上大時的頻率 $ \ omega _ { m } $ 為

: $ \ omega _ { m }=\ omega'_ { 零 } { \ sqrt { { \ frac { 影一 } { Q _ { C } ^ { 二 } } } + { \ sqrt { 一 + { \ frac { 二 } { Q _ { C } ^ { 二 } } } } } } } $

其中 $ Q _ { C }=\ omega'_ { 零 } { R } { C } $。

參見

RC 電路
RL 電路
LC 電路

參考文獻

引用

來源

外部連結

串聯 RLC 交流電路 Java 模擬